Существуют ли сервисы хранения файлов в интернете с объёмом 700Gb, и выше?

Внешний жесткий диск от WD(Western Digital) объемом на 2Tb(2000Gb) возьми и не парься. Конечно внешник на два терабайта не будет дешевым удовольствием, но зато это хранение данных у тебя всегда будет под рукой.
А если не поскупишься, и купишь по дороже внешник, объемом на 4Tb(4000Gb), то это вообще будет просто шикарно.
А ещё в свой компьютер, можно поставить жесткий диск на 1Tb, который будет вторым - чисто для хранения данных Первый жесткий диск c которого Windows у тебя запускается, а второй как дополнительный объем. И плюс ещё в добавок отдельно внешник на 4Tb - этого на долго хватать будет.
У тебя есть пишущий DVD в компе, есть DVD-RW-устройство? Если нету, то на ход ноги потом после покупки объемных жестких дисков, советую пишущее DVD-устройство приобрести для своего ПК. Оно тоже удобный вариант, ну по нынешний день для хранения малых объемов информации. Но к пишущему DVD можно подзакупить пустых DVD-дисков (по другому DVD-болванки), и на пустые DVD-диски записывать информацию через программы UltraISO и Ahead NERO.

Пустые DVD-диски разделяются на несколько категорий:
DVD-R (4.7Gb) - одноразовый диск у которого больше 4000мб где то на 200 или на 150Мб
Двухслойный DVD-R (8.5Gb) - сюда 8Гб (8000мб) с чем то можно записать.
DVD+R (4.7Gb) - в версии "+" 4050мб или где то так, но чуть меньше объем чем у версии "-",
DVD-RW (4.7Gb) - перезаписывающий (многоразовый) диск.
Если будешь брать пишущее DVD-устройство для своего ПК, бери либо от фирмы LG или от фирмы PLEXTOR - от любой другой фирмы, как тебе не советовали продавцы какой-нибудь другой пишущий привод, не в коем случае не бери. Либо LG или PLEXTOR, а другие не в коем случае не бери. Потому что любые другие пишущие приводы ломаются очень быстро.

Вернемся к теме по поводу пустых дисков, кажись вроде 4Гб (4000мб) - мало вроде да, но ты можешь подзакупить себе сразу несколько упаковок пустых DVD+R, где в одной упаковке будет 50 штук DVD+R-дисков идти. а можно и упаковки где сразу 100 штук. разные упаковки есть. А так две упаковки по 100 штук - 800Гб хранения информации.

P.S.
Версии "+" чаще всего встречаются в магазинах электроники, но они же и по цене более бюджетные. Но и диски версии "-" тоже можно в магазинах электроники найти.
А так, просто увеличь объем памяти в самом компьютере, докупив к нему ещё один жесткий диск и купив внешний жесткий диск с большим объемом памяти и не парься. И потом уже, со временем, приобрети себе пишущее DVD-устройство. Чаще всего LG среди качественных пишущих приводов можно встретить, а вот PLEXTOR если намеритесь покупать, его искать придётся долго конечно. PLEXTOR найти тяжелее.

естественно
https://www.yandex.ru/yandsearch?clid=9582&text=облачные хранилища с большим объемом бесплатно 2017&l10n=ru&lr=43

Вполне возможно, платные.
Может проще винчестер побольше докупить?

надежней - свой отдельный жесткий диск

Хостинги, тысячи их

Если только для хранения дистрибов игр. 700Gb будут стоить довольно дорого, лучше приобрести своё собственное облако (у которого объём будет больше и за те же деньги; в перспективе его никто не отключит кроме вас). Рекомендую рассмотреть вариант WD My Cloud EX2 (с поддержкой RAID 0, 1, BJBOD)

Разве что за копейку

Может, если только платные, а так раскидать по разным облакам можно.