Сборка почты с другого e-mail - это собственно копирование или просто подключение

Ну, смотря какой сервер используется. Если Pop3, то всё копируется, а если IMAP то подключение в реальном времени происходит. Удалишь письмо, оно там тоже удалится на сервере. С Pop3 же всё останется на сервере почты. Ты просто удалишь у себя локально.

Сборщик почты работает по такому же принципу, как любая программа "почтовый клиент". Вроде MS Outlook, Mozilla Thunderbird, Foxmail и прочие. Просто через веб морду в браузере. На сервисе другой почтовой службы. То есть там кроме тебя твою почту ещё и админы того сервиса могут смотреть. В отличи от использования почтового клиента у себя на компе без всяких посредников.
Ну, то есть ты подключаешь на Яндексе сбор почты с Gmail и теперь не только админы Gmail почты видят твою почту, но уже и админы Яндекса тоже. Используя почтовый клиент у себя на компе или на смартфоне, ты исключаешь этого посредника в виде Яндекса. Получаешь почту сразу с Яндекса и Gmail, подключив несколько аккаунтов в почтовике, но они разделены между собой. А ещё ты с собеседником можешь использовать шифрование для почты на клинской стороне так, что никакие админы не смогут переписку прочитать. Например, удобно использовать PGP шифрование в почтовике Mozilla Thunderbird можно с помощью дополнения для почтовика "Enigmail", но можно и просто копировать, вставлять шифрованный текст из проги Gpg4win для отправки или наоборот чтобы расшифровать присланное сообщение. Разумеется, нужно обменяться ключами с собеседником заранее через другой канал связи.

Если вам нужно именно перенести все сообщения - тогда, ИМХО, лучше будет воспользоваться POP3. IMAP - это периодическая синхронизация почтового ящика и клиента (в данном случае - другой ящик).