Почему меняется IP адрес.

Если у Вас к примеру авторизация по PPPoE и Вы подключили себе статику, то собственно, ни кто вам не запрещает прописать в ручную статику на все устройствах... и ни чего меняться не будет..
Собственно шлюзом является роутер, DNSники, прописать то же не проблема... Как то так или я что то не до понимаю..?
У меня дома три ПК, один Ноут, Смарт ТВ, ..шлюз 192.168.0.1, далее 192.168.0.2--254... Как пример.

потому что наверное ip в твоей локальной сетке тебе раздаёт твой роутер

Если в настройках роутера привяжешь IP по мак-адресу то меняться он не будет больше

уже никак

загляни в инструкцию своего роутера,
зафиксируй адреса по мак адерсу.

никак

Статический IP это тот адрес, под которым видно твои устройства в интернете, а у тебя в квартире своя локальная сеть и адреса назначаешь ты сам или они назначаются автоматически DHCP сервером, роль которого обычно выполняет роутер. Роутер же является и шлюзом, т. е. выходом из твоей сети в сеть провайдера (там тоже есть свой внутренний IP провайдера), а провайдер уже выводит тебя в интернет под другим статическим или динамическим IP, о котором и идет речь.

Как вариант, Xbox работает в интернете через свой игровой сервер, который играет роль прокси и выдает ее уже под другим адресом, который может быть динамический.

Роутер раздаёт устройствам адреса динамически, просто пропиши этим устройствам статические адреса в настройках роутера, и ничего меняться не будет.