Как посмотреть историю поиска сервиса Яндекс через сайт на компьютере, не используя Яндекс браузер?

Если не отключил в настройках историю поиска, то когда нажимаешь на поисковую строку яндекса высвечивается несколько последних запросов. Получить все запросы невозможно.

все просто microsoft explorer 9

А кто тебе внушил такую глупость, что тебе будут предлагать именно Яндекс Браузер? Я лучше вас знаю, что предлагать.
Надо смотреть историю в том браузере, из которого делались запросы. Если это было в Яндекс Браузере — значит, и смотреть надо в нём, если это было в Edge — там и смотри, если в Google Chrome — смотри в нём.
Но если это делалось из приватного окна браузера — то не будет нигде. Если история после того была очищена (полностью или частично) — то тоже может не быть.
Кроме того:
Если это было на ПК и тот браузер, из которого сделаны запросы, был удалён с сохранением данных пользователя, то можно установить его снова, зайти в старый профиль и посмотреть.
Если это было на смартфоне и тот браузер, из которого сделаны запросы, был удалён со смартфона, то история браузера уже удалена.

Если история браузера удалена:
Если вы зарегистрированы на Яндексе (речь о сайте, а не о браузере!), искали из своей учётной записи и у вас в настройках поиска (на сайте Яндекса, а не в браузере!) стоит галочка «Показывать историю поисков», то ваши запросы появляются в подсказках при следующих поисках. Например, вот так выглядят подсказки при наборе «про» _после_ того, как я искал «проба» и «пробник» со включенной историей запросов:Но заметьте, что для этго надо угадать хотя бы первые буквы запроса (если бы я ввёл, например, «нов» — то эти подсказки не появились бы) и не перепутать ваши персональные подсказки со стандартными.