Где я сделал ошибку в коде

до if(a = "") программа не дойдёт, но лучше там поставить ==
А что вообще должна делать функция?

split для строк не нужен и дальше какая-то мешанина.

Можно вообще так:

function isIsogram(str) {
return new Set(str).size == str.length;
}

Ваш подход написания кода
устаревший и не безопасный.

1) var используется лишь в старых скриптах, его не убрали с языка лишь для того чтобы поддерживать старый код. Сейчас let, const
2) Вы используете условия без фигурных скобок при этом тело переносите на следующую строку.

Чтобы обновить знания можно воспользоваться javascript.info или его русским аналогом learn.javascript.ru

Сплитить необязательно, строка индексируется сама по себе
Второй цикл неверный, не от 0, а от следующего за i и не до i, а до конца. Двойным циклом надо проверить совпадение любых двух символов.
Если не равно - сразу true возвращаете? Это бред. Первая пара неодинаковых символов - это не проверка на изограмму. Тут достаточно оставить одно условие - если равны - то вернуть false. А в конце вне циклов вернуть true.
Последнее условие на пустую строку надо проверить сразу вне цикла. И тут ошибка, одно = это присвоенине, а не сравнение.

isIsogram = (s) => {
if (s === '') {
return true;
}
for (let i = 0; i < s.length - 1; i++) {
for (let j = i + 1; j < s.length; j++) {
if (s[i] === s[j]) {
return false;
}
}
}
return true;
}