Как правильно писать "не причем"?

ни при чём - значит "не имеющий отношения", "не являющийся причиной", например, "ну и что, что вас уволили, я тут ни при чём".
А "не при чём" - значит "ни с чем", т. е. "поопоздав к обеду, остались без еды".
Так что никаких противоречий нет, правы и словарь, и Даль

ни при чём

Местоимения и наречия с частицей-приставкой ни употребляются в предложениях с отрицательным сказуемым (при сказуемом имеется отрицание не) , а местоимения и наречия с частицей-приставкой не употребляются в безличных (инфинитивных) предложениях с утвердительным сказуемым. Ср. : ни к кому не обращался – не к кому обратиться, ни за чем туда не ходил – незачем туда ходить; нигде не гулял — негде погулять.

Отступления встречаются в отдельных выражениях:

остаться ни с чем, остаться ни при чем, считать ни за что и др.

ПООПОЗДАВ к обеду, остались не при чем. Так, возможно, писали раньше. А вы употребляете сейчас «поопоздав» ? Раньше писали приДти. Сейчас – приЙти.

Кстати, Арсений, ваши ссылки, кроме Даля, не откраваются.

Ожегов:
Ни при чем (разг. ) - 1) не имеет отношения к чему-н. , не относится к делу. Эти объяснения тут ни при чем; 2) не виноват в чем-н. , не причастен к чему-н. Виноват он, аяни при чем. Ни при чем остаться (разг. ) - остаться обойденным, безо всего- Ему заплатили, а я остался -ни при чем

Т. е. в любом значение написание – без вариантов: НИ при чем.

прям как это: «Я поэт, зовусь Незнайка, от меня вам балалайка!»...!)))

ПРИЧЁМ и ПРИ ЧЁМ
Слитно пишется союз "причём" (со значением "и", "к тому же":
"пришел, причем не один"), а вот местоимение с предлогом
"при чём" -- раздельно (обычно в вопросительных предложениях
вроде "а я тут при чем? " и в сочетании "(быть) ни при чём",
которое пишется раздельно и с "ни").

... ни при чём.. . граматей !!!

Если Вы произносите это как "ни при чЁм" - с ударением на ё - тогда раздельно. Это значит "не касается, не относится": "И ты здесь ни при чЁм". А вот если "нЕ при чем" - и обратите внимание, что не "нЕ при чЁм" - то есть ударение на "не" и не чЁм а чЕм - тогда с Е, но этот случай встречается очень, очень редко. Даже пример привести не могу. Но здесь конструкция, как в выражениях "нЕ к чему" (ср. с "Ни к чемУ"), "нЕ к кому" (ср. с "Ни к комУ"). Это аналогичные пары фраз, и для них одно правило, схожее употребление.
Кстати, абсолютно верное замечание насчёт того, что язык меняется. Раньше и употребление слова "талантливый" было дурным тоном - все говорили "даровитый", и говорили не "слова", а "словеса". Так что смотрите в современных словарях.

ни причём

НЕ ПРИ ЧЁМ ПО - МОЕМУ ТАК

Да, уже, в современном интернете, путать НЕ и НИ (про при чём и причём молчу, слишком сложно для многих), стало "нормой". Однако, Психиатрия давно нашла ответ на этот вопрос, - называется он "шизофазия" (или как-то так), и говорит о том, что если с мозгами не всё в порядке, человек путает НЕ и НИ. И орфография тут уже не играет роли

ни при чём - значит "не имеющий отношения", "не являющийся причиной", например, "ну и что, что вас уволили, я тут ни при чём".
А "не при чём" - значит "ни с чем", т. е. "поопоздав к обеду, остались без еды".
Так что никаких противоречий нет, правы и словарь, и Даль

ни при чем