Как правильно писать: посредством электронной связи или по средствам электронной связи

Это зависит исключительно от того, что именно Вы хотите сказать.

1. Посредством электронной связи = при помощи электронной связи

2. По средствам (кому-либо/чему-либо) = (кто-то/что-то) может себе позволить.. .(а дальше по смыслу, что именно может себе позволить)

Подозреваю, что Вам нужен именно первый вариант.

Например:
Они общались посредством электронной связи = "Они посылали друг другу письма по электронной почте" / "они общались в чате" и т. д.

Посредством - это предлог, служебная часть речи, то есть не отвечает ни на какие вопросы и служит лишь для выражения отношений между зависящими друг от друга словами. То есть к нему нельзя поставить вопрос. При этом если Вы думаете, что к этому слову можно поставить вопрос как? , то сразу спешу разочаровать Вас - этот вопрос относится к слову "связи" + предлог "посредством".

Загляните сюда - пример с юмором

by means of e-mail ; by e-mail; via e-mail
по электронной почте- нельзя сказать?

Нужно предложение, ситуация.
Возможно сказать : "Сообщение передано по средствам электронной связи", но: "Они общались посредством электронной связи" (Общение какое? посредством чего? Передать как? и по каким каналам, средствам? - по сотовому телефону)

Русский язык - наука очень сложная и неточная. Официально, слово "посредством" отнесено к предлогам, но с этим можно поспорить, поскольку для предлога оно какое-то слишком "существенное". Если взглянуть шире и глубже, его можно позиционировать, как модифицированную форму существительного "средством", т. е. слова "средство" в творительном падеже, к которому была добавлена приставка "по-". Таким образом, в нашем примере можно было бы сказать "Они общались СРЕДСТВОМ электронной связи", т. е. электронная связь была средством их общения. В таком контексте слово "средством" отвечает на вопрос "чем?", который также можно поставить и для слова "ПОсредством", если взглянуть на него с такого ракурса, который я описал.
Не стану категорично утверждать правильность своего мнения по данному вопросу, т. к. он спорный, но, как вариант, думаю, моя позиция заслуживает внимания :-)

Это зависит от того, в каком смысле словосочетание употребляется в предложении. Например: 1. Я сообщил другу новость посредством электронной связи. 2. Завтра состоится конференция по средствам электронной связи.
В первом случае к словосочетанию можно поставить вопрос Как? , во втором - по чему?
Так что выбирать правильность написания следует из смысла.

а какой вы закладываете смысл?
первое говорит о том что мы что то сделаем с помощью электронной связи.
второе что у электронной связи есть достаточно средств, но это как минимум странно.