Северная и Южная Корея говорят на одном языке? Или они уже начали различаться?

Теоретически да, на одном.
Практически, на двух разных.
Их языки так различаются, что они уже скоро не смогут понимать друг друга.
Подробнее расписывать для неуча не буду. Вот вам пару ссылок.
Отличия в корейском языке между Северной Кореей и Южной Кореей
Расхождение лексики Северной и Южной Кореи
Северокорейская версия корейского языка, чем она отличается от южнокорейской?

Общекорейский язык начал формироваться благодаря усилиям корейских просветителей 30-х годов XX века. Культурным и индустриальным центром Кореи был Сеул. В столице были сосредоточена корейская интелигенция и, поскольку город, индустриальный, то и коммунистическая партия. Корейские коммунисты в каноических основах учения анафемстовали, поддерживая Троцкого, поэтому корейскую партию вычеркнули из списков на одном из пленумов Коминтерна.

Север страны был патриархальным с крестьянским и релегиозным укладом. Именно на севере вспыхли очаги сопротивления японской оккупации. Одним из таких бойцоы был Ким Ир Сен, отряд которого прижали к советской границе. Через границу отряд пустили, товарищ Ким дослужился до капитана. Сына родившегося в СССР назвали Юрием Ирсеновичем Кимом (позже известным под именем Ким Чен Ир) .

В конце 40-х между севером и югом Кории уже были большие культурные отличия. Разделение народа их только усугубило. Грамматика и построение фраз у южан и северян одинаковая, но в лексике накопилось много непонятных слов. Кроме того, у южан временами пишут иероглифами, на севере они запрещены: там можно только на общекорейском "хангыле" писать.

Разница между северянами и южанами большая. Думаю, нам европейцам всех деталей, просто, не понять.

Говорят на одном корейском, но есть и различия. Так некоторые слова перешли из английского в южнокорейский язык

Язык то один. Но разошлись я думаю уже навсегда.

Язык один, но из-за отсталости и закрытости Северной Кореи, её жителям незнакомы практически все современные слова из компьютерной техники, интернет-выражения, шоу-бизнесовые термины и многие другие, которые принес капитализм и западная культура.