Остановите на остановке - тавтология?

Не тавтология, особенно если зайти в или выйти из транспортного средства (например, маршрутки) можно не только на "официальной" остановке.

- Остановите у магазина.
- Остановите на остановке.

Бывает, что, например, автобус останавливается по требованию, но не останавливается между официальными остановками. В таком случае фраза "остановите на остановке" избыточна (плеоназм) , так как автобус и так останавливается только на остановках. Но если добавить определение, то всё встаёт на свои места:

- Остановите на следующей остановке.
- Остановите на этой остановке.

Теоретически тавтология может иметь место, если под "остановкой" имеется в виду действие, а не место (но такой контекст навряд ли существует) .

сделать остановку
осуществить остановку
остановить (ся) на остановке (= остановить (ся) во время остановки ?) - фраза не имеет смысла и так не говорят.

Подводя итог, можно сказать, что ключевым для тавтологии является не наличие двух однокоренных слов, а выражение одного и того же понятия дважды. "Остановить" и "остановка" (место) - однокоренные слова, но выражают различные понятия. "Остановить" и "остановка" (действие) выражают одно и то же понятие. Масло масляное = масло со свойствами масла (одно понятие выражено дважды, тавтология) . Падать вниз (тавтология) .

В языке существует такое явление как плеоназм. На первый взгляд, избыточное словосочетание, которое распространено в речи. Например, "подняться наверх", "спуститься вниз". Плеоназмы часто используются в условиях затрудненной коммуникации (например, в шумной среде) , чтобы с большей вероятностью точно передать информацию, избежать неправильного понимания. Это отличает плеоназм от тавтологии (тавтология зачастую вызвана желанием красиво излагать мысли, использовать витиеватый язык, т. е. избыточность не оправдана) . Помимо этого, в приведенных примерах "наверх" и "вниз" могут обозначать известный слушающему этаж или квартиру (например, можно спуститься "вниз", например, к выходу из подъезда, а можно спуститься на другой этаж) . В таком случае эти фразы не являются ни плеоназмом, ни тавтологией.

Господа лингвисты, вернитесь транспортным реалиям.

1) Есть остановки по требованию. Водитель автобуса на обязан останавилваться на такой остановки без явного сигнала пассажира: просьба голосом или нажате кнопки.

2) Водителю такси не нужно говорить: "Остановите на трамвайной остановке".

Тавтология возникает не тогда, когда идут подряд однокоренные слова, а повтор не меняет смысла и содержания фразы.

Хотя не тавтология, но не очень звучит. А вот "Остановите до остановки" или "за остановкой" - да! Ни йоту тавтологии и звучит нормально.

Нет, так же, как и Иван Иванов.

А пылесосить пылесосом? Лететь на самолёте? Кататься на самокате? В данном случае название объекта (или предмета) производная от характерного действия, потому следует рассматривать почти как имя собственное, т. е. ИМХО, тавталогии нет.