in the last days of a month почему в этом преложении мы обязаны ставить the перед днём

The beginning, the end, the first, the last, the middle, the centre и так далее. Там, где по-русски можно сказать "самый" (самое начало, самый последний, в самом центре), в английском языке обычно будет стоять артикль the. Потому что речь об однозначно определенной локации или временной точке или периоде (есть только одно начало, есть только одна середина и так далее).

the last days = дни в самом конце месяца
Их несколько, но речь о них собирательно, как о периоде времени. The last относится не к одному из этих дней, а к ним собирательно.

the last
the secod
the first
Это устойчивое.

Да просто запомни, что last в значении последний всегда с артиклем the.
В отличие от last в значении прошлый - last week, last year, там без артикля.

Days имеет ограничительное определение в виде of-phrase. Поэтому the.
Надо просто запомнить, что они порознь не ходят: the...of.
The use of articles
The summer of 2021
The girl of your dream
The beginning of the end

The применяется для КОНКРЕТНЫХ явлений/предметов, поэтому в превосходной форме (THE biggest), а так же в других формах, где подразумевается что предмет такой только один (последний, первый, самый какой-то) используется The.

Последний день в месяце всего один.

Потому, что последние дни являются частью месяца.

Конкретный день именно этого месяца

In the last days of ...потому что в последние дни месяца-( конкретно )., используется определённый артикль ( the), а если бы было в какие- то дни, то артикль был бы нулевой, In summer days of....

потому что in a last days как то странно звучит всёж

Потому что без "тхе" ничего не понятно в этом преложении.

Контекст