Perfect Infinitive в безличностной конструкции пассивного залога

Потому что в первых двух предложениях вообще нет инфинитива, их грамматическая структура его не предполагает, так как там обычные сложные предложения с двумя полноценными подлежащими и сказуемыми. А в третьем предложении есть complex subject, инфинитив - это его структурная особенность, перфектная форма в данном случае и указывает на то, что действие случилось в прошлом, оно предшествует is believed

Всё тут нормально. Не парься. "Почему" в языке не спрашивают - так сложилось веками в общении людей.

Вопрос, конечно, интересный. Не знаю, но могу предположить, что исходя из правил употребления "свершённого настоящего" времени -- должна быть какая-то СВЯЗЬ между свершённым действием и текущими обстоятельствами. Возможно признание Джона "человеком разбившим машину" и есть то обстоятельство, которое стало следствием этого разбития. Не знаю, правильный ли это ответ, но других объяснения я придумать не могу ((

My friends believe that John crashed the car.

Здесь crashed -- личная форма глагола, т. е. она грамматически зависит от подлежащего (John). Личная форма глагола всегда выражает категорию времени (Present, Past, Simple), а в Present Simple даже имеет различные личные окончания.

John is believed to have crashed the car.

Здесь to have crashed -- инфинитив (перфектный). Он не зависит от подлежащего грамматически, а только по смыслу. Инфинитив, в отличие от личных форм глагола, не выражает категорию времени.

Если мы скажем 'John is believed to crash the car', то получится, что is believed и crash имеют параллельную временную соотнесенность. Для сравнения: 'John is believed to be polite'. О нем так всегда думают и вежливый он всегда.

Как же тогда выразить временную соотнесенность, при которой есть предшествование (думают сейчас, а действие Джон совершил ранее)? Формы прошедшего времени у инфинитива нет. Единственный вариант -- использовать перфектный инфинитив (to have done).

John is believed to have crashed the car.

Тогда понятно, что инфинитив выражает действие, которое произошло до временного отрезка, к которому относится сказуемое is believed.

По поводу инфинитивов. Их есть несколько видов. Чтобы понять, как они образуются, надо взять простые примеры видо-временных форм настоящего времени и поставить вспомогательный глагол (если он есть) в форму инфинитива.

I work --> to work (обычный инфинитив)
I am working --> to be working (продолженный инфинитив)
I have worked --> to have worked (перфектный инфитив)
I have been working --> to have been working (перфектно-продолженный инфинитив)

Почему одна и та же мысль выражается разными способами? Вопрос, конечно, интересный. Потому что язык предполагает вариативность, а грамматика позволяет.
Второе предложение можно проигнорировать. Оно построено неправильно. Не соблюдено согласование времен.
Остается первое и третье. Первое сообщает незатейливую мысль с помощью двух простых предложений в составе сложного, второе с помощью сложного подлежащего, в состав которого входит перфектный инфинитив.
Наличие мнения как-то не сильно привязано к действию. Ну, подчеркивает перфект предшествование. С таким же успехом можно было сказать John was believed to have crashed the car. Инфинитив от этого не меняется.