гДе находится монастырь в котором томился Мцыри

Мужской монастырь в Мцхете.
Скорее всего это или Джвари (монастырь Святого Креста) (VI век) или Шио-Мгвимский монастырь.

Джвари (храм Креста) – знаменитый храм, расположенный на горе у слияния рек Куры и Арагви, напротив древней столицы Грузии. Он построен правителем Восточной Грузии над деревянным крестом, поставленным на горе св. Ниной. Из письменных свидетельств известно, что в середине VI века крест возвышался открыто и виден был издалека, являясь объектом поклонения, и в честь него в грузинской церкви было установлено празднование. Во второй половине VI века правитель Гуарам построил рядом с крестом малый храм Джвари. В 586 году сын Гуарама Степаноз I начинает строительство большого Джвари, который должен был стать достойной оболочкой для национальной святыни – креста св. Нины. Строительство было закончено в 604 году, и храм дошел до нас почти без изменений. Храм Джвари – одно из самых замечательных достижений древней грузинской архитектуры, и без преувеличения, самый популярный памятник Грузии, воспринимаемый как бессмертный символ народного гения.

Шио-Мгвимский монастырь (VI век)
Действуйщий мужской монастырь был основан преподобным Шио - одним из тринадцати ассирийских святых отцов, которые прибыли в Грузию в VI веке и много постарались для проповеди христианства.
Старая церковь была возведена в начале VI века и освящена в честь Иоанна Крестителя, это так называемый "свободно-крестовой" тип строений, очень простой и строгий.
В комплексе монастыря было построено большое количество различных зданий, но старая его часть сохранила свои оригнальные формы. Монастырь богат фресками принадлежащими концу XVI века. К настоящему моменту в монастырь перенесены мощи 6000 преподобномучеников Гареджийских, регулярно проходят богослужения. Из архитектурных построек сохранились купольная церковь 60-х гг. VI в. , трапезная эпохи зрелого средневековья большая церковь XII в. (1123 г.) , восстановленная в XVII в.

Место при слиянии рек Арагви и Кура называется Мцхета. С 1956 г это город. Расположенный на горе всемирно известный монастырь называется Джвари.
Еще в Мцхета есть монастыри Самтавро и Шио-Мгвимский. Наверно, были и еще. Какой именно из них имел в виду Лермонтов, я не знаю.