зачем Онегин написал письмо Татьяне?

Ошибочка вышла. Молод еще был.

Ни интернета, ни мобилок тогда не было. А то бы он ей смс-ку послал или в ЛК написал))))

Тут все зависит от вашей позиции к Онегину, к его поступкам, к тому, что он в свое время отказал Татьяне во взаимности. Представьте себя на месте Татьяны, как бы вы отнеслись потом к Онегину. Вообще-то вопрос странный, правильно или неправильно, так трудно сказать. Лично я считаю, что это был ненужный поступок. Дело даже не в том, что отказ Татьяны (уже как жены генерала) можно объяснить как наказание за то, что он не смог оценить в свое время ее искреннюю и большую любовь к нему. Он сделал свой выбор и должен честно признаться, что он ошибся. Нет лучшего способа убить любовь или расположение как отвергнуть или проигнорировать, не оценить их. Онегин не может себе в этом признаться. И потом на что он надеется? На то, что Татьяна разведется с мужем или станет его любовницей? Развестись в те времена для женщины было очень трудно, почти невозможно.
Конечно, нельзя не отметить, что письмо Онегина является одним из действий поэмы, оно должно чуть позже вызвать речь Татьяны. Речь, которая является финальной частью поэмы и необходима для полного раскрытия темы поэмы и самого образа Татьяны.

потому что влюбвился