почему лаэрт вызвал на поединок гамлета ?

Лаэрт не вызывал Гамлета. Король использовал обезумевшего от горя Лаэрта как орудие своей политики.
Читаем пьесу.

В сцене 1 пятого акта могильщики копают могилу для Офелии. Входят только что вернувшийся из морского путешествия Гамлет и Горацио. Гамлет с интересом наблюдает за процессом (копания) и довольно цинично комментирует находки могильщиков («… бедный Йорик!... – это здесь). Входит похоронная процессия. Несут Офелию. В процессии – король, королева, Лаэрт и другие. Гамлет, так и не понявший из замысловатых ответов могильщика, для кого же он копает могилу, осознает, что хоронят Офелию. Лаэрт над гробом сестры громко проклинает того, виновен в ее смерти. Понимая, речь о нем, Гамлет выступает вперед: «Я, Гамлет, Датчанин…». Лаэрт в безумии злобы «…схватывается с ним». Они дерутся, стоя в могиле. Их разнимают. Вот здесь Гамлет произносит: « Да, я за это биться с ним готов, Пока навек ресницы не сомкнутся…». Наговорив вдобавок кучу гадостей, Гамлет уходит. Король успокаивает Лаэрта: « Будь терпелив и помни о вчерашнем; Мы двинем дело к быстрому концу.»
Сцена 2 пятого акта. Гамлет, только что покинувший похоронную сцену, беседует с Горацио и рассказывает ему историю с письмом, которое он на корабле выкрал у Розенкранца и Гильденстерна и, переписав, подменил. Входит Озрик и после долгих реверансов передает предложение короля. Вот здесь внимание: король предлагает разрешить конфликт между Гамлетом и Лаэртом, устроив СОСТЯЗАНИЕ. Это не дуэль. При этом «… король поставил против него (Лаэрта) в заклад шесть берберийских коней, взамен чего тот выставил, (…) шесть французских рапир и кинжалов с их принадлежностями, как-то: пояс, портупей и прочее;».
Гамлет соглашается принять участие в состязании.

Король тщательно готовит убийство своего политического противника : отравляет клинок Лаэрта и подготавливает вино с ядом, так чтобы Гамлет выпил его в процессе схватки.

Если б кто-то убил вашего отца, а с сестрой поступил по-свински: собирался жениться, но потом передумал, и она от этого лишилась рассудка и покончила с собой... --как бы вы поступили в такой ситуации? Неужели проглотили бы свою обиду и продолжали жить как ни в чем ни бывало? (нравы сегодня, однако, покруче, чем в шекспировские времена, и людей убивают или взрывают в собственной квартире даже и за меньшие злодейства!)...

в отместку за гибель отца и сестры