Почему Гамлет не наследовал трон отца? Ведь он был прямым наследником, а не его дядя, женившийся на его матери.

В древнем законе наследования власти у Скандинавских
народов идёт не от отца к сыну, а к следующему
старшему в роду.
Так наследником трона стал не только Клавдий,
но и дядя Фортинбраса, "в обход" племянника.
Шекспир намеренно проводит параллель -
для норвежцев и датчан данная ситуация естественна.
Выходит, женитьба Клавдия на Гертруде не служит
всего лишь цели достичь трона. Клавдий всего лишь
"дополнил список", женившись на вдове брата,
которую, судя по всему, действительно желал.
"При мне мой край, корона, королева" - все это
достигнуто ценой одного братоубийства, и королева -
в списке достижений, а не средство.
Кровосмешение здесь - отдельный грех,
а не суровая необходимость.
Тут скорей и вина Гертруды, соблазнившейся
перспективой остаться женой короля.
Ввиду естественности порядка престолонаследия,
Гамлет в начале пьесы лишь огорчен смертью
отца и скорым забвеньем его матерью, но вовсе
не раздосадован "обходом" своей очереди, и
не помышляет о заявлении своих прав.
Предел его желаний - уехать в Виттенберг,
и постараться избавиться от неприятного осадка,
оставленного в его душе похоронами,
тут же сменившимися буйным праздником.
Лишь появление призрака, поведавшего Гамлету свою
историю, полностью переворачивает все планы,
намерения и стремленья принца.
"Я с памятной доски сотру все знаки..."

Это и был захват власти и отстранение законного наследника от трона. Собственно, желание захватить трон и было причиной убийства, в общем-то; и Гамлет, помимо отца, лишился трона, и прекрасно понимал, что его жизнь в опасности. Его же дядя-король побоялся убивать, потому, что он любим народом. Боится он Гамлета и как законного соперника за престол
О, как опасно, что его свобода
Неограниченна! Но я не смею
С ним поступить по строгости законов:
Он так любим бессмысленной толпой,
Любящей взорами, а не рассудком.
А если любят так - перед глазами
Одно страдание, а не вина.

так он вроде умер.. или нет?

Возможно, Гамлет в момент смерти отца был несовершеннолетним: именно в таких случаях правителем становится брат покойного.

Мне кажется, это было что-то вроде дворцового переворота, в результате которого дядя Гамлета узурпировал престол.

там династические дела были запутаны, отец Гамлета победил Норвежского короля и должен был править двумя странами, но в случае смерти отца Гамлета норвежский наследник мог послать своего ровесника подальше, а в случае, если трон занимало старшее поколение, видимо, учитывался нюанс. В конце концов норвежский принц безо всяких хлопот остался единственным претендентом на оба трона.