В каком городе жил Николай Васильевич Гоголь в 1845 году?

В Бад Хомбурге.

Бад-Хомбург в конце XIX — начале XX веков стал излюбленным курортом российской аристократии, в XIX веке по инициативе и на средства Александра Ивановича Проворова в городе была построена церковь Всех Святых, на церемонии открытия присутствовал царь Николай II. По Курпарку к ней ведёт аллея, названная в честь русского основателя церкви Провороффвек.

В июне-июле 1845 году, находясь в Бад-Хомбурге, Николай Васильевич Гоголь сжег первый вариант второго тома поэмы «Мертвые души».

А вот информация из другого источника :

В 1-ой половине 1845 самочувствие Гоголя резко ухудшилось; его силы были подорваны напряженным и, как ему казалось неэффективным трудом.
Летом 1845 Гоголь сжег рукопись 2-го тома, чтобы начать работу сначала.

С декабря 1848 жил у А. П. Толстого в Москве, продолжая работу над 2-м томом поэмы и другими сочинениями (в том числе начатыми еще в 1845 в Париже "Размышлениями о Божественной литургии").

После выхода первого тома (1842) работа над вторым томом (начатым еще в 1840) протекала особенно напряженно и мучительно. Летом 1845 в тяжелом душевном состоянии Гоголь сжигает рукопись этого тома, объясняя позднее свое решение именно тем, что “пути и дороги” к идеалу, возрождению человеческого духа не получили достаточно правдивого и убедительного выражения. Он принес его в жертву Богу, и его уму представилось новое содержание книги, просветленное и очищенное; ему казалось, что он понял теперь, как надо писать, чтобы “устремить все общество к прекрасному”

http://nlr.ru/exib/Gogol/biograph.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/Бад-Хомбург-фор-дер-Хёэ

https://studfiles.net/preview/1494329/page:6/

https://www.pac.ru/component/option,com_geo/resort,293396/

Где-то на перепутьях европейских дорог, в 1845 г., Гоголь писал своему другу графу Александру Петровичу Толстому: «Нет выше званья, как монашеское, и да сподобит нас Бог надеть когда-нибудь простую ризу чернеца, так желанную душе моей, о которой уже и помышленье мне в радость. Но без зова Божьего этого не сделать.. (((

В Ленинграде конечно. где же еще. писал шинель и нос

В Риме. С1842 по 1848 год Гоголь жил за границей - в Италии, в Германии, во Франции.