Существуют ли "лечебные стишки" или не существуют?

называется молитва.

Да, и это - славянские наговоры. Правда, не совсем стишки.

Конечно . "Крошка сын к отцу пришел и спросила кроха ..."

Нет. Бред какой-то.

А как же? Вот например исцеляющая мантра
ОМ НАМО РАМ КА ДХАНУШ ЛАКШМАН
КАВАН АНКХ ДАРАД КАРЕТУ ЛАКШМАН КУМАР КИАН
Повторить не меньше 1080 раз после захода солнца (желательно на четках)

Есть более специализированная- от укуса скорпиона, и даже отгоняющая смерть (Маха мритьюджая) но их я писать здесь не стану

Да существуют.
Заговоры или молитва.

Канешна.
У кошки - болИ, у собачки - болИ, а у Турхамчика - не болИ.

Да, и не только стихи. Существует даже такое понятие - БИБЛИОТЕРАПИЯ -
метод психотерапии, использующий литературу как одну из форм лечения словом. Применяется для коррекции психического состояния с помощью направленного чтения. В Европе, говорят, даже продаются маленькие сборники стихов с предписанием: "От депрессии", "От одиночества", "От неконтролируемой агрессии», "От тревоги" и т. п.

В качестве "лечебного" стишка в интернете можно найти и такое:

Лечит мята невралгию,
А свекла — гипертонию,
Земляника гонит соль,
А шалфей — зубную боль,
Арбуз кушай при нефрите,
А бруснику — при артрите,
Чтобы было больше сил,
Не забудь про девясил.
Клюква вылечит цистит,
Редька — кашель и бронхит,
Головную боль — калина,
А простуду — чай с малиной.
Печень подлечи рябиной,
Сердце — мятой и калиной,
Чтоб не ведать диабета,
Топинамбур ешь все лето.
Астму вылечи иссопом,
Мочевой пузырь — укропом.
Раны, язвы, геморрой
Подорожником промой.
Коль отеки у тебя —
Хвощ попей и семя льна,
Мажь мозоли чистотелом,
А веснушки — тертым хреном.
Зверобой не забывай
Чай с ним чаще потребляй,
Пей шиповника настой.
Будешь бодрый, молодой!

Но это, скорее, стишок для запоминания применения чего-либо от болезней)

Меня несёт река удачи,
Я больше никогда не плачу.

оговоры