Помогите с подключением старенького ридера Amazon Kindle к сети WiFi

Никогда не имел Киндл, но по приведенному фото его экрана ничего и сказать нельзя. Надо смотреть настройки Киндла и "точки доступа" (роутера, шлюза в Интернет), к которой Вы пытаетесь подключится.

Посмотрите включен ли в настройках устройства доступ по Wi-Fi и задан ли там правильный пароль доступа к нужной Вам "точке доступа" в Интернет по Wi-Fi.

Обычно для подключения устройств к роутеру с Wi-Fi достаточно указать пароль доступа к беспроводной сети (WLAN, Wireless LAN) Wi-Fi . Если устройство поддерживает версию Wi-Fi (бывают 802.11a, 802.11b, 802.11g, 802.11n ... более новые смотреть, наверное, не стоит вряд ли ваше устройство их поддерживает) и, соответственно, скорость передачи данных в сети Wi-Fi.

О версиях Wi-Fi посмотрите, например https://ru.wikipedia.org/wiki/Wi-Fi

Естественно, роутер ("точка доступа"), к которому можно подключится для доступа в Интернет (WAN - Wide Area Network), так же должен поддерживать (транслировать и принимать сигналы передачи данных) беспроводной сети Wi-Fi той же версии, что и Ваше устройство.

Если "точка доступа" в Интернет по Wi-Fi - Ваш домашний роутер, Вы можете проверить, посмотреть и поправить его настройки Wi-Fi (и его "версию Wi-Fi") таким образом, чтобы к нему могло подключаться Ваше устройство.
Многие роутеры одновременно поддерживают передачу и прием данных по Wi-Fi сразу нескольких самых распространенных стандартов (версий Wi-Fi) - 802.11a/b/g, 802.11 b/g/n mixed. Чтобы к ним без проблем можно было подключатся и с помощью самых древних и с помощью более новых устройств.

Поддерживаемые стандарты передачи данных Wi-Fi в настройках роутера задаются в разделе "Wi-Fi". Посмотрите в настройках роутера также включено ли, в принципе, "транслирование беспроводной сети" Wi-Fi. Остальные сетевые настройки роутера лучше не трогать (без понимания и опыта).

Доступ к настройкам роутера можно получить с помощью обычного браузера, установленного на компе, подключенном к локальной сети с роутером (кабелем или по Wi-Fi). Просто введите в строке адреса браузера стандартный IP-адрес, задаваемый для роутеров по умолчанию: 192.168.1.1. А затем - логин и пароль доступа к настройкам роутера.
К роутеру вообще можно одновременно подключить несколько устройств - и с помощью кабеля компьютерной сети (если подключаемое устройство не "читалка", конечно) и по Wi-Fi.