Если Анна Ахматова это поэзия серебряного века, то Бродский это поэзия какого века?

бронзового

Бродский - это Бродский. После Серебряного века в отечественной литературе никакого другого уже не было. Поэзия классифицировалась уже не по векам, а по более коротким периодам

Серебряный век не столько от его ценности как поэтического направления, сколько от того, что это мостик нового времени к великим прошлого, как в ответе выше сказано, Тютчевым, Майковым, Фетом, Толстым.
Бродский является продолжателем традиции Лермонтова во очень многих позициях.

И зачем обязательно классифицировать века поэзии, а не просто читать стихи?

Это всё очень условно.
Ахматова назвала как-то своё поколение "Серебряным веком", с тех пор и повелось.
Хотя, как по мне, Серебряный век русской поэзии - это скорее Тютчев, Фет, Майков, А.К. Толстой. В их творчестве было более "благородное" серебро.
Авторы 10-х - 20-х годов XX века в сравнении с ними - неприятные эгоцентрики.
Бродский вообще стоит особняком. Это, конечно, очень плодовитая, интеллектуальная, ироничная глыба. Но с точки зрения лирической силы и "прорывов" к вечному не считаю его лучшим поэтом 60-х - 70-х годов прошлого века. Рубцов проникновеннее и трогательнее, Тарковский лучше и благороднее, Слуцкий выше и нравственнее, Юрий Кузнецов эпичнее и глубже и т.п. Даже скучноватый Чухонцев лучше.

Уже никакого века. После 60-х годов поэзия как жанр литературы утратила особое значение. Известными остались только детские рифмоплеты типа Эдуарда Успенского