Кратчайший маршрут и транспорт своим ходом от Егорьевска до г. Железнодорожный или г. Электроугли Подскажите.

Насчет кратчайшего ничего не могу сказать. Если в Москву не желаете заезжать, то придется совместить автобус и электричку:
электричка
http://www.tutu.ru/rasp.php?st1=63709&st2=15202 Егорьевск – Куровская
http://www.tutu.ru/rasp.php?st1=15202&st2=60008 Куровская – Орехово-Зуево

автобус
http://www.mostransavto.ru/?page=rasp&code=232&ak=9&n=47&com=0
автобус 47 Егорьевск - Куровское
http://www.mostransavto.ru/?page=rasp&code=385&ak=27&n=22&com=0
автобус 22 Куровское – Орехово-Зуево
http://www.mostransavto.ru/?page=rasp&code=425&ak=28&n=65&com=0
автобус 65 Павловский Посад – Куровское
http://www.mostransavto.ru/?page=rasp&code=-7448875&ak=27&n=53&com=0
автобус 53 Егорьевск – Орехово-Зуево

1-й вариант: 268 минут в пути (расчетно) *, 2 пересадки, 158 рублей за билеты
ост. Егоревск, Улица 20 Лет Октября (Рязанская улица) - автобус 389 - ост. Метро «Выхино» - маршрутка 9м
- ост. Метро «Выхино» - маршрутка 100 - ост. Поликлиника - 275 метров пешком - Железнодорожный
[9 маршрутка перевозит на другую сторону ж/д - скорее по переходу перейти]

с электричками:

1-й вариант: 196 минут в пути (расчетно) *, 2 пересадки, 177 рублей за билеты
егорьевск ост. Улица Энгельса - автобус 29 - ост. Платформа «88-й Километр» - электричка - ст. Выхино - 121 метр пешком - ост. Метро «Выхино» - маршрутка 100 - ост. Поликлиника - 275 метров пешком - железнодорожный

2-й вариант: 207 минут в пути (расчетно) *, 3 пересадки, 234 рубля за билеты
ст. Егорьевск - электричка - ст. Новая - 348 метров пешком - ст. Авиамоторная - Калининская линия - ст. Площадь Ильича - 175 метров пешком - ст. Серп и Молот - электричка - ст. Кучино - 100 метров пешком - ост. Платформа Кучино - маршрутки: 100, 507, 142, 290, 8, 51, 487, 47, автобусы: 338, 29 - ост. Горсовет - 203 метра пешком - железнодорожный