Обязательно ли на сайт ставить Mysql?

Даже формулировка вопроса безграмотная. Надеюсь это не школьное задание. Ни на какой сайт никогда не ставится MySQL! Она может быть установлена на хостинг. А сайт её может использовать, а может и не использовать. Сайт может состоять из одного .html файла. И никакой MySQL ему не нужен. MySQL используется некоторыми CMS. Далеко не всеми. Так что в терминологии задававшего вопрос ответ звучит "Нет, не обязательно".

Нет, необязательно, сайт может и не использовать базу данных

Не обязательно, разработчик сам определяет, где хранить данные, можно в sqlite, можно в json, а можно вообще ничего не хранить, если это одностраничник.

MySQL сейчас некатуально - её сейчас ведет фирма Oracle, весьма мутная фирма, а разработчик MySQL, сейчас двигает свой проект под названием MariaDB, вот на неё стоит обратить внимание.

Не обязательно, сейчас язык php включает в себя все что нужно для хорошего многофункционального сайта, а в качестве базы данных mysql уже давно морально устарела и мало используется веб разработчиками. А вот хороший хостинг для сайта - жизненно необходим, я выбрал https://gimaho.com, а в качестве базы данных в итоге выбрал оракл.

Нет

Да можно
MySQL – это одна из самых популярных и самых распространенных СУБД (система управления базами данных) в интернете. Она не предназначена для работы с большими объемами информации, но ее применение идеально для интернет сайтов, как небольших, так и достаточно крупных.