Могут ли забрать в армию юношу сироту, живущего с бабушкой преклонного возраста (77 лет)?

да
Статья 23. Освобождение от призыва на военную службу. Граждане, не подлежащие призыву на военную службу
1. От призыва на военную службу освобождаются граждане:
а) признанные не годными или ограниченно годными к военной службе по состоянию здоровья;

Комментарий ГАРАНТа
См. Требования к состоянию здоровья граждан, подлежащих первоначальной постановке на воинский учет, граждан, подлежащих призыву на военную службу (военные сборы) , граждан, поступающих на военную службу по контракту, граждан, поступающих в училища, военно-учебные заведения, военнослужащих, граждан, пребывающих в запасе Вооруженных Сил РФ, утвержденные постановлением Правительства РФ от 25 февраля 2003 г. N 123

б) проходящие или прошедшие военную службу в Российской Федерации;
в) проходящие или прошедшие альтернативную гражданскую службу;

Комментарий ГАРАНТа
О применении подпункта "в" пункта 1 статьи 23 настоящего Федерального закона см. Определение Конституционного Суда РФ от 4 октября 2005 г. N 435-О

г) прошедшие военную службу в другом государстве.

Комментарий ГАРАНТа
Согласно статье 5 Федерального закона от 6 июля 2006 г. N 104-ФЗ, вступающей в силу с 1 января 2008 г. , граждане, которые были освобождены от призыва на военную службу или которым была предоставлена отсрочка от призыва на военную службу в соответствии с настоящей статьей до 1 января 2008 года, пользуются указанными освобождениями и отсрочками до истечения срока их действия или до исчезновения их оснований

2. Право на освобождение от призыва на военную службу имеют граждане:
а) имеющие предусмотренную государственной системой аттестации ученую степень;
б) являющиеся сыновьями (родными братьями) :
военнослужащих, проходивших военную службу по призыву, погибших (умерших) в связи с исполнением ими обязанностей военной службы, и граждан, проходивших военные сборы, погибших (умерших) в связи с исполнением ими обязанностей военной службы в период прохождения военных сборов;
граждан, умерших вследствие увечья (ранения, травмы, контузии) либо заболевания, полученных в связи с исполнением ими обязанностей военной службы в период прохождения военной службы по призыву, после увольнения с военной службы либо после отчисления с военных сборов или окончания военных сборов.
3. Не подлежат призыву на военную службу граждане:
а) отбывающие наказание в виде обязательных работ, исправительных работ, ограничения свободы, ареста или лишения свободы;
б) имеющие неснятую или непогашенную судимость за совершение преступления;
в) в отношении которых ведется дознание либо предварительное следствие или уголовное дело в отношении которых передано в суд.

А по-моему, круглых сирот не призывают на службу.

Ну а теперь как всегда зрим в корень, т. е. в Закон, причем в его нужное место:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Статья 24. Отсрочка от призыва граждан на военную службу

1. Отсрочка от призыва на военную службу предоставляется гражданам:

....

б) занятым постоянным уходом за отцом, матерью, женой, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, если отсутствуют другие лица, обязанные по закону содержать указанных граждан, а также при условии, что последние не находятся на полном государственном обеспечении и нуждаются по состоянию здоровья в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по месту жительства граждан, призываемых на военную службу, в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре) ;
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Если будут выполнены все условия перечисленные в этом пункте закона, то отсрочка возможна. А основные условия это наличие у вашей бабушки специального заключения местных органов МСЭ о ее нуждаемости в постоянном постороннем уходе и полное отсутствие других лиц, обязанных по Закону ухаживать за ней, причем независимо от их желания и места проживания. Если какое то одно условие не будет выполнено, - отсрочки не будет. И опекун он или не опекун в данной ситуации совершенно безразлично.

Вполне. Но если он оформит над бабушкой опекунство, то не призовут.

если бабушка не дееспособная то нет

Если он единственный опекун, то нет.

если он ее опекун то нет

Думаю что нет

Если ты живёшь с бабаушкой и являешься её опекуном - нет.