Какие авиакомпании сотрудничают с Мин. Обороны?

Этот вопрос надо задать военному коменданту аэропорта.

Федеральный закон от 27.05.1998 N 76-ФЗ "О статусе военнослужащих" (с изм. и доп. с 01.02.2012)
Статья 20. Проезд на транспорте.
1.1. Военнослужащие, проходящие военную службу по контракту в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, других местностях с неблагоприятными климатическими и (или) экологическими условиями, в том числе отдаленных, имеют право на проезд на безвозмездной основе железнодорожным, воздушным, водным и автомобильным (за исключением такси) транспортом один раз в год по территории Российской Федерации к месту использования основного (каникулярного) отпуска и обратно.
2. Члены семьи военнослужащего - гражданина, проходящего военную службу по контракту, указанные в абзацах 6 - 10 пункта 5 статьи 2, имеют право на основаниях, установленных для военнослужащих - граждан, на проезд на безвозмездной основе:
один раз в год - к месту использования отпуска и обратно (один член семьи, за исключением члена семьи, относящегося к категории, указанной в абзаце девятом пункта 5 статьи 2 настоящего Федерального закона) ;
Иными словами, если вы проходите службу в таких условиях, вы и указанные в законе члены вашей семьи имеете право на оплаченный проезд в отпуск в оба конца.
И здесь совершенно безразлично, какая авиакомпания будет вас обслуживать.
После отпуска предоставьте все проездные документы в финчасть и вам возместят расходы практически в полном объеме (за вычетом брони, оплаты дополнительного багажа и т. п.) . Это 98% суммы ваших затрат.