куда мне стоит обращаться: в военую прокуратуру либо в министерство обороны?

Не бери в голову. Пригласят и вручат. Какая необходимость?

В Гаагский суд по правам человека. Так и так, скажите, а России военные билеты не дают.

В ООН

тебе обязаны выдать военный билет такой же как у всех только там будет стоять ВУС 998000 и группа здоровья скажем В-3 (это пример, я ж не знаю по каким основаниям ты не годен)
выдать за 10 дней? в каком законе? ты вообще представляешь сколько военников в день, в ручную (военный билет заполняется только от руки) выписывают пара сотрудников военкомата (обычно больше 2-х сотрудников этим не занимаются- по штатному расписанию больше нет) - несколько десятков, а еще у них 2 рабочих дня из 5 прием и выдача билетов
так что если тебе уж очень горит просто приди и попроси по человечески

" По закону обязаны выдать в течении 10 дней " - это о каком законе ?

Обращение в военную прокуратуру - метод действенный, но может затянуть данный процесс на долгое время. Сначала лучше попасть на прием к начальнику военкомата, и выяснить, действительно ли Вас признали негодным, либо отложили решение данного вопроса до прохождения доп. комиссии. Если признали, то нужно всего лишь объяснить начальнику, что военный билет Вам очень нужен, и Вы пройдете столько инстанций, сколько нужно, чтобы получить его. Если же остались какие-то сомнения в состоянии Вашего здоровья, то даже обращение в прокуратуру (либо иную инстанцию), ничего не изменит.
Например, если Вы прошли мед. комиссию в стороннем мед. учреждении по своему выбору, и принесли в военкомат справку с диагнозом, за неделю до окончания призыва, то военный билет ждать Вам в ближайшее время не стоит. Сотрудники военкомата обязаны изучить все мед. документы, устанавливающие Ваш диагноз, и при необходимости провести свою мед. комиссию для подтверждения диагноза - если Вы не дали им такой возможности, то и они не дадут Вам возможности получить военный билет.

В Военную Прокуратуру!