Как гражданину другого государства служить в армии РФ?

Да, иностранные граждане могут поступить на военную службу ВС РФ только по контракту и проходить службу в соответствии с Федеральным законом от 28.03.1998 г. N 53-ФЗ (ред. от 05.10.2015) "О воинской обязанности и военной службе" и Положением о порядке прохождения военной службы, утвержденном Указом Президента Российской Федерации от 16 сентября 1999 г. N 1237 (ред. от 20.10.2015). Контракт заключается иностранными гражданами в возрасте 18-30 лет сроком на пять лет, по истечению которого они подлежат увольнению из ВС РФ. Должны владеть русским языком, соответствовать медицинским и профессионально-психологическим требованиям военной службы к конкретным военно-учетным специальностям, а также требованиям по уровню образования, квалификации и физической подготовки, установленных министром обороны РФ.
В целях проверки их соответствия требованиям федеральных законов, общевоинских уставов и иных нормативных правовых актов Российской Федерации, определяющих общие, должностные и специальные обязанности военнослужащих, устанавливается испытание сроком на три месяца.
По истечении 5 лет, военнослужащие из числа иностранных граждан, как правило, становятся гражданами РФ и далее проходят военную службу в ВС РФ на общих основаниях.

Мой сосед, гражданин Украины, служит по контракту в армии РФ и воюет под Широкино

Вы можете это следать и ДО получения вида на жительства. Просто зайти в военкомат и написать заявление на приём на контрактную службу. Пройдёте медкомиссию. Предъявите документы об образовании (не ниже среднего), пройдете тестирование, сдадите зачет по физподготовке и ...служить. Военный билет конечно выдадут. Какой военнослужащий нашей армии и без нашего военника.