Можно ли получать статус ветерана боевых действий, если на месяц военнослужащего МЧС направляли доставлять гуманитарный

Можно.
Перечень документов, которые могут подтверждать участие в боевых действий, приведен в Приказе МО РФ № 2288.

Ну вы же не один туда в командировку ездили! Поднимайте этот вопрос у себя в части, да не один, а все вместе. Пусть командование задницу от кресла оторвет и хоть немного за своих подчиненных позаботится.

А вообще, надо сказать надежды мало что этот вопрос для вас решится положительно. Хоть и очень важное дело делали, но все таки в БД участия не принимали.

1. К ветеранам боевых действий относятся:
1) военнослужащие, в том числе уволенные в запас (отставку), военнообязанные, призванные на военные сборы, лица рядового и начальствующего состава органов внутренних дел, войск национальной гвардии и органов государственной безопасности, работники указанных органов, работники Министерства обороны СССР и работники Министерства обороны Российской Федерации, сотрудники учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, органов принудительного исполнения Российской Федерации, направленные в другие государства органами государственной власти СССР, органами государственной власти Российской Федерации и принимавшие участие в боевых действиях при исполнении служебных обязанностей в этих государствах, а также принимавшие участие в соответствии с решениями органов государственной власти Российской Федерации в боевых действиях на территории Российской Федерации;
***
См. другие статьи тоже, все не уместися
https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_5490/815edc9896435be7118ac0d2bfccfcdc4caea94a/
Сотрудников МЧС я там не вижу. Выводы делай сам.

Стрелять необязательно, но находиться в списках подразделения, согласно приказа ведущего боевые действия надо. Подразделение может находиться в местах где боевые действия ведутся, но участия в них не принимать :)

Нет

вроде как можно

Можно. В июле внесены изменения в закон "О ветеранах". Согласно п. 9 ч. 1 ст. 3 ФЗ "О ветеранах" к ветеранам боевых действий относятся лица, направлявшиеся для обеспечения выполнения задач в ходе специальной военной операции на территориях Украины, Донецкой Народной Республики и Луганской Народной Республики с 24 февраля 2022 года, отработавшие установленный при направлении срок либо откомандированные досрочно по уважительным причинам.