Можно ли песню "Я-вожатый, ты-вожатый" играть на гитаре без барре?

Можно, только с каподастром. Поставь его на 2й лад и тогда гармония будет (считая каподастр нулевым ладом) :
Am Em
Fmaj7 C
Dm E Am
Dm E

Припев:
Dm E
Am Fmaj7

Подчёркиваю, что я не знаю этой песни и вынужден доверять тому, что указанная тобой гармония верна. Единственный аккорд с которым у тебя могут возникнуть проблемы Fmaj7 или FM7, поэтому даю аппликатуру:
1. Если гриф узкий (это хорошо) то:
Струна Лад Палец лев руки
1 -----------0 -----------0
2 -----------1 -----------1
3 -----------2 -----------2
4 -----------3 -----------4
5 -----------3 -----------3
6 -----------1------------Т (большой палец левой руки)

2. Если гриф широкий (не хватает длины пальцев обхватить гриф "замком" левой руки) , тогда только 4х струнная версия:
Струна Лад Палец лев руки
1 -----------0 -----------0
2 -----------1 -----------1
3 -----------2 -----------2
4 -----------3 -----------4
5 -----------Х -----------Х
6 -----------Х------------Х (Х - значит не играется, старайся не задевать этих струн при страминге или глуши их правой рукой)

Можно, если поменять тональность на тон ниже, но в таком случае всё равно придётся применить хотя-бы неполное баре (3-4)звука в аккорде Фа (который был в Вашей тональности Соль) .
Теперь по поводу вашей дописки. не пренебрегайте знаками, иначе путаницы не избежать. Фа диез и Фа, это не одно и тоже!!!