Как называется композиция, обычно звучащая в отечественных прогнозах погоды?

Ну если имеется ввиду советская классика прогноза погоды, то это "Манчестер и Ливерпуль".

Marie Laforêt “Manchester et Liverpool”
Мари Лафоре “Манчестер и Ливерпуль”, 1966
Слова: E.Marnay, Музыка: A.Popp

Мари Лафоре (настоящее имя Майтена Думенак) - французская актриса и певица, известная россиянам прежде всего по песне «Manchester Et Liverpool», мелодия которой многие годы сопровождала прогноз погоды в программе «Время» .
В 1966 году грустный город Манчестер стал популярен у французских исполнителей. В куплетах Eddy Marnai красавица Мари Лафоре поет о туманах и дождях Манчестера и об исчезнувшей любви. Ей эхом вторит Мулуджи (Mouloudji) “I come back in Manchester, la plus vilaine ville de la terre, revoir la plus belle fille d’Angleterre.” (”Я вернулся в Манчестер, самый мерзкий город на земле, чтобы увидеть самую красивую девушку Англии”).

Послушать можно сдесь
w ww.france-chanson.com/?p=3

А насчет Лещенко, то "Я прошу меня простить... " в дуэте, если не ошибаюсь, со Свиридовой, - это просто перепевка на русский с сохранением оригинальной музыки, сделанная, насколько я помню, для проекта "Старые песни о главном". Причем сама эта перепевка - довольно давняя, с текстом Роберта Рождественского и пел ее когда-то давно Муслим Магомаев, а существуют, кроме того и другие переложения на русский ...вот такая богатая история у этой песни :)

лев лещенко - я прошу тебя простить

Иногда из Вивальди "Времена года" берут