Как маленькой девочке выгнать страшную бабайку, живущую у неё под кроватью?

подарить ей мишку, который будет ее охранять.

Во-первых, она не страшная. Все "домовята" - ОХРАНЯЮТ дом, и заботятся о своих ЖИЛЬЦАХ.
Тут нужно действовать наоборот, "дружить" с ними. Чаще всего такой домовенок - ОДИН. Ему скучно и он немного "пошаливает". Прячет разные мелочи, ворует мед (любит есть ложечкой и ИЗ ГЛИНЯНОГО ГОРШОЧКА) или просто сладости-конфеты. И еще любит складывать свои "драгоценности" в сундучок или хотя бы в коробочку с крышечкой.

Есть такая книга "Монстры и волшебные палочки. Интенсивный курс гипноза". Там описывается подобная ситуация. Психолог пишет. Неожиданно сын стал бояться спать в темноте говоря что его пугают всякие чудища. Психолог говорит если бы я пытался доказать ребенку что этого нет то я бы не решил проблему потому что в сознании ребенка это есть. Мы оставили его дома и сказали что сходим к дяде волшебнику и попросим помощи. Пошли на рынок и купили самую обыкновенную палку, повязали ленточкой и принесли, вручили сыну и сказали что дядя волшебник дал волшебную палочку и сказал что теперь его все будут бояться. Спустя неделю сын вернул палку и сказал чтобы обязательно вернули волшебную палочку волшебнику и сказали спасибо, потому что он волшебной палочкой всех выгнал и его боятся. Переубедить ребенка не получится потому что бабайка в его сознании есть. Просто надо найти правильный подход. Не сможете сами обращайтесь к психологу.

Объяснить, что бабаек не существует, Заглянуть вместе с ней под кровать и убедиться, что там, кроме пыли ничего нет.