Какие функции выполняет математика по отношению к естествознанию? Какие основные направления математизации науки?

1. Функция - переход от качественных объяснений к количественным результатам.
2. Количественные зависимости не одинаково выявлены

Всё, что можно измерить, в принципе можно описать математически.
Математика придает естественно-научным наблюдениям чёткий
смысл, облекает наблюдения в форму законов и позволяет извлекать
из них выводы, делать разумные прогнозы.
Направления - построение адекватных математических моделей,
компьютеризация расчётов и прогнозов, оснащение точными
формулировками интуитивных догадок и гипотез.
Физика и химия естественно укладываются в существуюший
математический аппарат, поскольку они изучают относительно
простые системы, но такие области знания, как биология и особенно
медицина, изучают настолько сложные системы, что никакими
формулами точно описать поведение живых объектов не удаётся.
Гидрометеорология также имеет дело с невероятно сложными
системами, и здесь успехи математизации заметны, но пока ещё
достаточно скромны.

не все отрасли науки вообще наука. Многие еще пока пустая болтовня.

Математика - сильно развитая логика. Если идея физика не превращается в уравнения - значит она логически ошибочна.
если превращается - математика способна многое подсказать.

Чуть ли не половина истории физики - истории о том. как физик что-то придумывал совершенно неверное, но уравнения оказывались верными (он же их по опытным данным делал) , с годами уравнения остались, а "слова" - на свалку.
Так вся термодинамика была сочинены для теплорода. Теплорода - нет, а уравнения - есть.
То же самое и с электродинамикой. Все сочинялось для эфира. Эфира - нет, а уравнения пережили даже революционный переход к теории относительности (собственно - от них все и началось!) .

Есть и совсем замечательные примеры, когда физическая теория рождалась только из математики, без всякой связи с опытом, и только потом эксперименты показали ее правильность.

Математика - рабыня наук, поскольку служит всем естественным наукам. Законы математики помогают не субъективно, а объективно понять окружающие нас вещи. Прежде всего сейчас активными темпами математизируется биология (биоинформатика, генетика и т. п.) , ранее была математизирована химия, философию полезного влияния математизации наук выдвинул Иммануил Кант, который считал чем наука более математизирована, тем открываются большие возможности для её развития.