По каналу Дискавери я видел рассказ учёных НАСА, где говориться о том, что мы (земля) не крутимся вокруг солнца.

Так все относительно и зависит от того как считать. В геоцентрической системе Птолемея, которой люди пользовались на протяжении 2500 лет, Солнце движется вокруг Земли. А, в пришедшей ей на смену гелиоцентрической системе Коперника, Земля крутится вокруг Солнца. Какими опытами это доказано? Наблюдениями из Солнечной системы, расчетами. Со стороны это движение по необычной кривой никто не видел. Расстояния очень большие. Ведь наша галактика в поперечнике 100 000 световых лет. Какие уж тут опыты.

Одно другому не противоречит. Мы крутимся вокруг Солнца, что приводит к тому, что мы летим по извилистой кривой вокруг центра галактики.

Если юлу ракрутить в купе поезда на столе, то она крутится воккруг своей оси или едет из Питербурга в Одессу?
Так и с движением Земли. Если мы принимаем Солнце за центр системы отсчета координат, то траектория Земли эллипс. Вокруг центра Галактики Земля движется вместе с Солнцем.
При этом, Земля вращается вокруг своей оси, только из центра Галактики это увидеть трудно.
Не зря говорят об относительности движения.

Сложение движений может давать очень причудливые результаты - в зависимости от того, как установить систему отсчёта...

Относительность механического движения - в данном случае относительность траектории.

Точно также для нас на Земле Луна обращается вокруг, а глядя со стороны - летит рядом с Землёй вокруг Солнца, болтаясь рядом.

Относительно Солнца вращаемся по эллиптической орбите, один из фокусов которой - само Солнце.
Относительно центра галактики Солнце движется по эллипсоподобной траектории.
Получается, Земля относительно центра галактики движется очень причудливо (эллиптическое движение по огромному псевдоэллипсу, либо логарифмической улитке в полярных координатах) .
В чём, собственно, неясность-то?

Все это ерунда. Давно известно, что Солнце вращается вокруг Земли. Вся астрономия, в том числе мореходная основывается на этом факте. Так легче описать и рассчитать различные эфемериды и кульминации планет и небесных светил. Вся причина в выборе точки наблюдения и относительности )))) А вот учесть траекторию движения Земли вокруг Солнца, а Солнца в нашей галактике очень затруднительно, да и нет необходимости.