Как преобразовать предел, чтобы можно было применить правило Лопиталя?

Здесь можно применить правило Лопиталя, никак не преобразовывая дробь. Дело в том, что правило Лопиталя применимо для случая неопределённостей 0 / 0 и ∞ / ∞. У нас как раз второй случай. При подстановке нуля в числитель, получаем котангенс нуля. При 0+0 он равен +∞. В знаменателе будет логарифм нуля. Это -∞.
Однако при применении правила Лопиталя получится предел [-2 / sin^2(2x)] / [1/x] = -2х / sin^2 (2x) и получится снова неопределённость (0 / 0), что даёт нам возможность повторно применить правило Лопиталя, на этот раз, более успешно, т. к. в числителе уже не будет нуля.
После применения в числителе получится -2, а в знаменателе 2*sin(2x)cos(2x)*2, что при х = 0 даёт 0. Значит ответ тут будет минус бесконечность.

Прекрасно всё считается по Лопиталю. Просто помимо правила Лопиталя, надо ещё на забывать обычной школьной алгебры.
Чему равно 1 делить на (1/х) , а?

Если подставить нуль с правой окрестностью, то просто разумно взгляните на неопределенность и поймете, что в числителе будет бесконечность, а в знаменателе натуральный логарифм нуля, то есть того чего не может быть по определению логарифма, ну не может аргумент логарифма быть равным нулю. Просто невозможно найти такое число, которое при возведении основания логарифма, в данном случае е, давало бы нуль.
Здесь явно математическая ошибка!