Если соединить последовательно 4 батарейки по 3.7 V с разным кол-вом Ампер, не перегорят ли батарейки?

Соединить можно.
Никаких ампер в батарейках нет, это над тобой кто-то подшутил.

Нет батареек "с количеством ампер".
В амперах измеряется ток, который течет в замкнутой цепи.

А на твоем аккумуляторе написана емкость, то есть, в твоем примере батарея может выдавать ток силой в один ампер в течении часа (при необходимых условиях) .
При последовательном соединении увеличится напряжение. (3.7+3.7в)
Разные батареи или аккумуляторы лучше в паре не использовать.

Когда ты объединяешь в цепь источник (в данном случае БАТАРЕЯ из 3-х последовательно соединенных гальванических элементов по 1,23 В, которая в просторечии называется "батарейка" на 3,7 В) и нагрузку, то ток в цепи определяется по закону Ома для полной цепи J=E/(r+R), где J - ток, E - ЭДС источника (3,7 В) , r - внутреннее сопротивление источника, R - сопротивление нагрузки (потребителя) . Поэтому заранее нельзя сказать, какой ток будет давать источник, и на нем НИКОГДА не пишут выдаваемый ток, а только ЭДС (3,7 В) и емкость источника (1000 мА*ч, но не так как ты написал мА/ч, а именно мА*ч) . Такая емкость означает, что источник может давать ток 1 мА в течение 1000 часов, или 2 мА в течение 500 часов, или 100 мА в течение 10 часов и т. д. В принципе, если позволяет его внутреннее сопротивление, он может дать ток даже 10 А но всего лишь в течение 0,1 часа (6 минут) .
При последовательном соединении нескольких одинаковых источников почти такая же формула, только ЭДС и внутреннее сопротивление нужно умножить на количество элементов. Получается J=n*E/(n*r+R). Если не замкнешь выходные контакты накоротко, то ничего с батарейками не сделается.
"Амперы" плюсоваться не будут, ток будет определяться по приведенной мной формуле, а вот емкость (А*ч) тоже не будет складываться. Более того, если одна батарейка уже частично использована, и в ней уже не 1000 мА*ч, а, осталось например 500 мА/ч, то и емкость всей сборки будет равна емкости батарейки с минимальным запасом, т. е. , в данной ситуации 500 мА*ч. Когда заряд этой батарейки закончится, то она перестанет быть источником, но останется сопротивлением, включенным в цепь. Возможно, что ее сопротивление будет больше, чем заряженной, например r2. Тогда формула для расчета тока изменится и будет такой: J=(n-1)*E/((n-1)*r++r2+R).
Если тебе нужен большой ток, то батареи нужно соединять параллельно. При этом ЭДС сборки будет равна ЭДС одной батарейки, внутреннее сопротивление всех батареек будет меньше, чем внутреннее сопротивление 1 батарейки, а ток будет определяться по формуле J=E/(r/n+R).
Если нужно и большое напряжение и большой ток, то делаешь несколько сборок с последовательным соединением, а эти сборки соединяешь параллельно.

батарейки с разной емкостью (в Ампер-часах) при разряде нельзя разряжать ниже емкости самой низкоемкостной батарейки, а то будет переполюсовка и может сгореть.

Ох уж эти батарейки.. . а Амперы такие амперы...

Не перегорят, соединяй.