Давайте вспомним, у каких частей речи есть категория рода.
Как признак постоянный, то есть не меняющийся при изменении форм слова, РОД есть:
★ у существительных, например: телевизор, машина, озеро;
★ у личных местоимений 3-го лица единственного числа ОН, ОНА, ОНО.
Как признак непостоянный, то есть меняющийся при изменении форм слова, РОД есть:
★ у прилагательных в формах единственного числа, например: интересный, интересная, интересное; интересен, интересна, интересно;
★ у слов, похожих на прилагательные (местоимений-прилагательных, порядковых числительных, причастий), тоже в формах единственного числа, например: какой, какая, какое; сотый, сотая, сотое; разбитый, разбитая, разбитое, разбит, разбита, разбито;
★ у ГЛАГОЛОВ прошедшего времени изъявительного наклонения в формах единственного числа и у ГЛАГОЛОВ повелительного наклонения в формах единственного числа, например: благодарил, благодарила, благодарило; благодарил бы, благодарила бы, благодарило бы.
Это всё. У других частей речи категории рода нет.
Теперь посмотрим на наше слово, выясним, к какой части речи оно относится.
Что делать? БЛАГОДАРИТЬ. Это ГЛАГОЛ в начальной (неопределённой) форме, форме инфинитива, а род у глаголов, как уже сказано выше, есть как признак непостоянный только в прошедшем времени в формах единственного числа и в условном наклонении тоже в формах единственного числа.
ВЫВОД: у слова БЛАГОДАРИТЬ род нет.
.
