Какова роль касательных в графиках в физике ?

Вопрос ваш ОЧЕНЬ странен...
Вообще-то его всегда ставят ТАК- ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ производной, ГУГЛИТЕ,
Странно еще и то, что вообще-то в школах (НОРМАЛЬНЫХ) показывают всегда ОПРЕДЕЛЕНИЕ производной, исходя из определения мнгновенной скорости, которая в каждой точке КАСАТЕЛЬНА к траектории и заодно ОБЪЯСНЯЮТ, что ВПЕРВЫЕ понятие производной ввели в физике ( механике), потом уже в чистой математике, для описания скорости протекания ЛЮБЫХ процессов Что означает ВАШ вопрос?

Касательная к траектории движения точки направлена вдоль вектора скорости. Касательная к графику зависимости координаты от времени образует с этой осью угол, тангенс которого равен проекции скорости на эту ось.

Как и везде - первые производные от функций.

Касательная к графику функции - это линеаризованная функция в окрестности этой точки.
Если мы имеем сложный физический процесс, график которого описывается нелинейной зависимостью, то вблизи некоторой точки функцию можно считать линейной. Это наиболее простая из всех функций. При этом, касательная из всех линейных приближений функции является наилучшим приближением!
Для описания многих физических процессов используют сложные дифференциальные уравнения. Решить их аналитическим способом удаётся далеко не всегда. Численным образом можно нарисовать приближённое решение в виде графика, представляющего собой ломаную. Звенья этой ломаной есть не что иное, как касательные к реальному гладкому графику этого физического процесса.
Кроме того, как справедливо указано в предыдущем ответе, касательная к графику траектории движения материальной точки помогает найти кинематические характеристики закона её движения: вектор скорости точки в данный момент времени направлен вдоль касательной к графику траектории в этой же точке. Так же направлен и вектор её тангенциального ускорения. А вектор нормального ускорения направлен вдоль нормали, т. е. перпендикулярно этой касательной в этой точке.