в чем смысл построения касательной к графику функции для чего ее вообще строят ? ведьи без нее вроде бы не плохо? спасиб

Часто есть необходимость определить производную функции. Но не всегда функция представлена в виде простой формулы. Часто либо формула очень сложная, так что не вычислишь, либо её вовсе нет. Зато есть график или данные для того, чтобы его построить. Вот тогда производную функции определяют по касательной. Проводят её и, как тут уже говорили, смотрят на тангенс её угла (обычно сразу на тангенс, не измеряя угла, т. е. смотрят на сколько поднимится/опустится эта прямая, если сдвинуться по оси аргумента на 1см) .
Например, нам нужно определитьскорости откачки вакуумного насоса при разном давлении (чтобы знать, на сколько хорош этот насос) . Но приборов для прямого измерения скорости откачки лично я не знаю, они минимум очень редки и их почти ни где нет. Тогда мы откачиваем этим насосом известный нам вакуумный объём, измеряем зависимость давления от времени (приборы, необходимые для этого, есть всюду) , строим график давления от времени, а потом строим ряд касательных. По касательным определяем производные в нескольких точках, умножаем эти производные на величину откачиваемого объёма, и получаем значение скорости откачки при разных давлениях.

без нее неплохо, если кто-от другой умеет ее строить, а ты только покупаешь готовые штучки типа мобильника, основанные на этой самой касательной.

Производная - обычный прикладной математический инструмент. Самые частые применения - найти максимум/минимум функции (в нем, естественно, касательная горизонтальна) , определить где функция растут, а где убывает.

Нередки и конструкторов. Например, рассчитывая, как должны сопрягаться зубья у шестеренок, чтобы шестеренки передавали вращение гладко, приходишь к касательным.

Есть у меня знакомая которая в школе мучалась вопросом - на кой хрен нужны эти тангенсы-катангенсы!! ! где их применяют? ! А потом вышла замуж за летчика-испытателя и своими глазами увидила что муж эту бредятину на практике использует в расчетах.

Ой, я сейчас тебе такое скажу.... Когда в институте на втором курсе нам препод вставил программу, которая всё это сама строит и решает ( да-да и касательные и логарифмы и всё-всё), я хотела убить свою учительницу алгебры.

тангенс угла касательной численно равен значению производной функции в данной точке