Естественные науки

Симметрия графиков функций

Функция задана аналитически (с помощью формулы). Как получить формулу функции, симметричной данной относительно какой-либо произвольной прямой?
Может есть алгоритм какой?
Виктория Дудрикова
Виктория Дудрикова
69 560
y1=f(x), x >= 0

y2=f(-x), график симметричен у1 относительно оси ОУ

y3=-f(x), график симметричен у1 относительно оси ОХ

y4=-f(-x), график симметричен у1 относительно начала координат

В общем случае, если кривая задана в виде f(x,y)=0 и ось симметрии в виде y=kx+b, то можно ввести новые координаты u=y, v=-x/k, выразить x и y через u и v, переписать уравнение кривой в новых координатах, тогда задача сведётся к одной из вышеупомнутых.
Гульназ Ержанова
Гульназ Ержанова
51 607
Лучший ответ
Гульназ Ержанова Поправка:

новые координаты u=y-kx-b, v=y+x/k,
Виктория Сафошина А если требуется в старых координатах?
Виктория Сафошина Что же, применим ваш способ. "Задана функция y= f(x)= 6 (это есть прямая, параллельная оси х). Необходимо найти функцию, описывающую прямую, симметричную данной относительно прямой y= x/3+2 (т. е. k= 1/3, b= 2)". ОТВЕТ: y= 3x/4-3 (проверить легко на клетчатой бумаге).
Напишем вспомогательные функции: u= y-kx-b= 6-x/3-2= 4-x/3 (1); v= y+x/k= 6+x/(1/3)= 6+3x (2). Из (2) выразим x: x= v/3-2 (3); Подставляем в (1) и находим: u= 14/3-v/9 (4). Далее на основе (4) пользуясь (1) и (2) возвращаемся к старым координатам, на этот раз "у" оставляя как переменную (т. е. не подставляем у= 6): у-х/3-2= 14/3-у/9-х/(9*1/3). Упрощая, приходим к исходной функции у= 6 - к ответу не подошли ни на йоту.
Может быть по-другому решается - не знаю.
Виктория Сафошина У вас всё верно. Только допустили опечатку: на обратный знак надо заменить u, а не v.
Пусть задана ф-ция у= f(х). Нужно установить функцию у*= F(х*), симметричную относительно прямой у= ах+b.
Получается параметрическая система уравнений:
F(х*)= [(а^2-1)*f(х) +2ах+2b]/(а^2+1) (1),
х*= [2а*f(х) -(а^2-1)х-2аb]/(а2+1) (2).
Выражая из (2) х через х* - если это возможно в явном виде - и подставляя в (1), находим искомую функцию у*= F(х*). Если это не удаётся, придётся довольствоваться параметрическим задаванием функции.
Данную систему я применил простейшему случаю - заданная функция: у= 6, заданная прямая, относительно которой ищется симметричная функция: у= х/3+2. Для искомой функции получил (если отказаться от звёздочек): F(х) = 3х/4-3. Верность решения легко проверить, чертя всё это на клетчатой бумаге.
Kolya Markosyan
Kolya Markosyan
99 506
да запросто. только в результате может получится не функция, поэтому всё делаем в параметрическом виде:
x = t
y = F(x(t)) = G(t)

пусть единичный направляющий вектор прямой имеет вид n = (u, v), а ближайшая к центру координат точка этой прямой имеет вид O' = (x0, y0)

поворачиаем координатную систему и переносим её в эту точку O' преобразованием:
x = ux' - vy' + x0
y = vx' + vy' + y0

тогда наша параметрическая запись будет иметь вид:
ux'(t) - vy'(t) + x0 = t
vx'(t) + vy'(t) + y0 = G(t)

теперь осталось отразить эту беду, заменив в формулах y' на -y', вернуться обратно в систему (x, y) при помощи преобразования:
x' = u(x-x0) + v(y-y0)
y' = -v(x-x0) + u(y-y0)

и всего делов.
СК
Саодат Каримова
89 302

Похожие вопросы