Есть ли симметрия у функции?

.
Вот правильный график с разностью в знаменателе

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+1/(sin(x)-cos(x))

А теперь сделаем сдвиги этой функции на величину pi/4 вправо и влево и посмотрим на графики.

Для 1/(sin(x+pi/4)-cos(x+pi/4))
получается график

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+1/(sin(x+pi/4)-cos(x+pi/4))

То есть эта функция нечетная.
.

А если сделать сдвиг в другую сторону на величину pi/4 ---> 1/(sin(x-pi/4)-cos(x-pi/4)),
то получаем график

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+1/(sin(x-pi/4)-cos(x-pi/4))

То есть функция четная.

Таким образом, относительно разных точек эта функция может быть четной или нечетной.
.

Чётности или нечётности у этой функции нет, но есть симметрия центральная симметрия графика относительно точки х=pi/4, у=0.
В самом деле, sin x-cos x=koren(2)*sin(x-pi/4), т. е. функция sin x-cos x нечётна относительно "сдвинутой" переменной t=x-pi/4. Следовательно, и исходная функция нечётна относительно сдвинутой переменной.

Ну вот график:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+1/(sinx+++cos+x)
Сразу видно, что она симметрична относительно прямой x = pi/4 (а также прямых x = pi\4 + pi, x= pi\4 + 2pi и т. д.).
А еще она симметрична относительно прямой y = 0.
А еще относительно точек (x = pi/4, y = 0), (x = pi/4 + pi/2, y = 0), (x = pi/4 + pi, y = 0), (x = pi/4 + 3pi/2, y = 0)...
Вообще понятие симметричности более широкое, чем понятия четности/нечетности.
Только "четность относительно сдвинутой оси" - так не говорят.

P.S. Там в картинке "+" куда-то убегает в исходном выражении. Добавьте его вручную.