Что такое центр симметрии эллипса ?

Центр симметрии эллипса (а также любой другой фигуры) - это такая точка, что для любой точки данной фигуры симметричная ей относительно неё точка (то есть, находящаяся на равном с ней расстоянии от центра симметрии и лежащая с ней и центром симметрии на одной прямой) также принадлежит этой фигуре.

У эллипса центром симметрии является середина отрезка, соединяющего фокусы эллипса.

Действительно, если соединить произвольную точку эллипса A с серединой отрезка между фокусами O отрезком прямой и на продолжении этого отрезка за точку O взять точку B, такую, что AO = OB, то четырёхугольник AF1BF2 (где F1 и F2 - фокусы эллипса) будет параллелограммом, поскольку у него диагонали точкой пересечения делятся пополам, а значит, противоположные стороны его будут попарно равны, и суммы смежных сторон также равны (AF1 + AF2 = BF1 + BF2) , а значит, точка B также принадлежит эллипсу.

..не дам.
подавай в суд на учителя, который не смог тебе это вдолбить. он за это деньги получает.

Определение.
Центра́льной симметри́ей относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. (Вики)

Определение.
Пусть X - подмножество евклидового аффинного пространства, a - преобразование центральной симметрии относительно некоторой точки A, такое, что a(X) = X.
Тогда точка A называется центром симметрии множества X, множество X называется центрально-симметричным.

Утверждение.
У любого невырожденного эллипсоида в евклидовом пространстве существует единственный центр симметрии (в частности, у эллипса при dim(V) = 2).

Я думаю что в аналитической геометрии есть ответ на этот вопрос. В параболе есть одна величина директрисса, У гиперболы 2 фокуса, и у эллипса тоже 2, а в окружности один.