Можно ли написать уравнение эллипса, зная, что он проходит через 3 точки: (-1;0), (1;0), (2;3)

эллипс на плоскости определяется пятью параметрами

например (из директориального свойства)

координаты фокуса (2 параметра)
уравнение директрисы (2 параметра)
эксцентриситет (1 параметр)

Каждая точка дает нам одно уравнение, поэтому эллипс определяется ПЯТЬЮ точками (ноо не любые 5 точек определяют эллипс)

таким образом мы имеем двупараметрическое семейство эллипсов, проходящих через 3 данные точки (в частности через эти три точки проходит окружность)

Если нам даны ЧЕТЫРЕ точки (-1;0), (1;0), (2;3), (-2;-3)
то решение задачи такое

Эти точки являются вершинами параллелограмма
нетрудно доказать следующее утверждение:
"если параллелограмм вписан в эллипс, то центр эллипса совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелограмма, а его стороны задают сопряженные направления"
Таким образом прямые
x-y=0
x-3y=0
являются сопряженными диаметрами эллипса, проходящего через четыре данные точки,
поэтому уравнение эллипса имеет вид
A(x-y)^2+B(x-3y)^2=1

подставляя наши точки получим A=1-9B, поэтому уравнение эллипса проходящего через четыре данные точки таково:
x^2+2(6B-1)xy+(1-8B)y^2=1, B больше 0 и меньше 1/9

Нет, нельзя!
Уравнение эллипса имеет четыре параметра: Координаты центра (два параметра) и растяжения по осям (тоже два параметра) .
Судя по первым двум точкам - x-координата центра эллипса равна 0. Но эта координата делает тождественными два уравнения по первой и второй точкам соответственно, получаем:

Если уравнение эллипса имеет вид:

(x - x0)^2 / a^2 + (y - y0)^2 / b^2 = 1

1-я и 2-я точки: a^2 * y0^2 + b^2 = a^2 * b^2
3-я точка: a^2 * (y0 - 3)^2 + 4 * b^2 = a^2 * b^2

Таким образом - два уравнения и три неизвестных.. . Однозначного решения нет :)

Да, можно.
Берёшь координаты точек и подставляешь вместо икс и игрек в каноническое уравнение эллипса (http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag15/image018.gif)
Получается система из трёх уравнений и двух неизвестных а и b. Решаем и получаем уравнение эллипса.