вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ плоской фигуры, ограниченной кривыми х^2+у^2=1 у^2=(3/2)х.

Точка пересечения кривых x=1/2; y = sqrt(3)/2; Длина окр.
которую описывает отрезок между кривыми при фикс. у : (sqrt(1-y^2)-2/3*y^2)
вокруг оси х равна 2*Pi*y
int(2*Pi*(sqrt(1-y^2)-2/3*y^2)*y,y=0..sqrt(3)/2)
= 19/48*Pi

Для начала надо НАРИСОВАТЬ, что за фигура там получается.
А получается окружность единичного радиуса, из которой параболой (лежащей на боку) выделяется кусок. Точки пересечения парабоы и окружности не штука найти, сравнив два уравнения (это совсем просто, пятый класс) . И дальше надо найти сумму объёмом ДВУХ фигур: параболы для х от 0 до вертикальнорй линии, соединяющей точки пересечения, и окружности от этой же линии до х=1.

Как должно быть известно, объём тела вращения равен произведению длины окружности, описываемой центром тяжести фигуры, на площадь самой фигуры. Так что задачка сводится к определению этой площади (совсем просто - банальное интегрирование параболы и площадь сегмента круга) и к определению координаты (х) центра тяжести. Тут опять же придётся честно сосчитать интеграл, хотя уже несколько другой. Х-координата центра тяжести вычисляется как дробь, в числителе - интеграл от произведения х на f(x), в данном случае у нас для параболы f(x) = sqrt(2/3 x), для окружности f(x) = sqrt(1-x^2), а в знаменателе - интеграл от просто f(x). Пределы интегрирования берутся соответствующими - от 0 до линии пересечения, и от линии пересечения до 1.

Собсно, это всё. Дальше сами, сами...