Математика Известно, что а^2+b^2 = 1, c^2+d^2 = 1. Доказать, что |ас - bd| ≤1.

Давай еще одним полезным школьным методом докажем.

(|a| - |c|)^2 >= 0 ==> 2|ac| <= a^2 + c^2, это неравенство в школе может даже как-нибудь называться;
аналогично 2|bd| <= b^2 + d^2;
2|ас - bd| <= 2|ac| + 2|bd| <= (a^2 + c^2) + (b^2 + d^2) = 2, откуда |ас - bd| ≤1

найдётся угол α такой что sin(α) = a; cos(α) = b
найдётся угол β такой что sin(β) = c; cos(β) = d

тогда ас - bd = sin(α)*sin(β) - cos(α)*cos(β) = -cos(α + β)

(a + bi)(a - bi) = a² + b² = 1
(c + di)(c - di) = c² + d² = 1

перемножим всё
(a + bi)(a - bi) * (c + di)(c - di) = 1
(a + bi)(c + di) * (a - bi)(c - di) = 1
(ac + adi + bci - bd) * (ac - adi - bci - bd) = 1
((ac - bd) + (adi + bci)) * ((ac - bd) - (adi + bci)) = 1
(ac - bd)² - (adi + bci)² = 1
(ac - bd)² = 1 + (adi + bci)²
(ac - bd)² = 1 + i² * (ad + bc)²
(ac - bd)² = 1 - (ad + bc)²
ac - bd = ±√(1 - (ad + bc)²)
|ac - bd| = √(1 - (ad + bc)²)

ну а так, как число в квадрате не может быть отрицательным, то
1 - (ad + bc)² ≤ 1

а следовательно и
√(1 - (ad + bc)²) ≤ √1
√(1 - (ad + bc)²) ≤ 1

потому
|ac - bd| ≤ 1

P.S. Наверное можно и легче, но я делал как умею :))