Докажите, что a4+b4>1/8, если a+b>1. Помогите пожалуйста. Связано с полуинвариантами

a + b > 1
пускай a = 0.5 + k, тогда b > 0.5 - k

Заменим a в исследуемом выражении:
(0.5 + k)^4 + b^4 > 1/8

Докажем от противного, что неравенство верно для любого значения b > 0.5 - k:
Допустим, что существует такое значение b, что следующая система неравенств имеет решение:
b > 0.5 - k
(0.5 + k)^4 + b^4 ≤ 1/8

Попробуем её решить:
b^4 > (0.5 - k)^4
(0.5 + k)^4 + b^4 ≤ 1/8

(0.5 - k)^4 < b^4 ≤ 1/8 - (0.5 + k)^4
(0.5 - k)^4 < 1/8 - (0.5 + k)^4
(0.5 - k)^4 + (0.5 + k)^4 < 1/8
0.5^4 - 4*0.5^3*k + 6*0.5^2*k^2 - 4*0.5*k^3 + k^4 + 0.5^4 + 4*0.5^3*k + 6*0.5^2*k^2 + 4*0.5*k^3 + k^4 < 1/8
2*0.5^4 + 12*0.5^2*k^2 + 2*k^4 < 1/8
0.5^4 + 6*0.5^2*k^2 + k^4 < 1/16
(0.5^2)^2 + 2*(0.5^2*k^2) + (k^2)^2 < 1/16 - 4*(0.5^2*k^2)
(0.5^2 + k^2)^2 < 1/16 - k^2

k^2 при любом значении k будет положительным, а значит
1/16 - k^2 ≤ 1/16
(0.5^2 + k^2)^2 < 1/16 - k^2 ≤ 1/16
(0.5^2 + k^2)^2 < 1/16
0.5^2 + k^2 < 1/4
k^2 < 1/4 - 0.5^2
k^2 < 0

Пришли к явному противоречию, а значит исходное допущение неверно и при любом значении b > (0.5 - k) верно неравенство
(0.5 + k)^4 + b^4 > 1/8, а значит и верно a^4 + b^4 > 1/8, что и требовалось доказать

P.S. Возможно можно проще, но это единственное строгое доказательство, которое мне пришло в голову.

Выносим 4 за скобки: 4(а+b)>1/8
а+b>1 подставляем худший вариант а+b = 1 (хоть там и строгий знак, в данном случае это не критично).
Получаем 4(a+b) = 4.
И это в худшем случае...