Пусть альфа бета гамма углы произвольного треугольника. Доказать что cos(альфа) *cos(бета) *cos(гамма). ≤1/8

Сначала докажем, что если α, β и γ – углы треугольника, то cos α + cos β + cos γ <= 3/2.

По основному свойству треугольника α + β + γ = 180°, откуда α + β = 180 ° - γ.
Далее (α + β) / 2 = 90° - γ/2,
cos((α + β) / 2) = cos((90°- γ/2)) = sin γ/2.

По формуле косинуса суммы
cos α + cos β = 2 cos((α + β) / 2) cos((α - β) / 2) = 2 sin γ/2 cos((α - β) / 2) <= 2 sin γ/2 (поскольку cos((α - β) / 2) всегда <= 1).
С другой стороны по формуле двойного угла cos γ = 1 – 2 sin² γ/2.

Поэтому cos α + cos β + cos γ <= 2 sin γ/2 + 1 – 2 sin² γ/2 = 3/2 – 2 (sin γ/2 – 1/2)² <= 3/2 (здесь применили метод выделения полного квадрата).

Итак, cos α + cos β + cos γ <= 3/2. Разделим неравенство на 3:

(cos α + cos β + cos γ ) / 3 <= 1/2

Согласно неравенству Коши если мы заменим среднее арифметическое cos α, cos β и cos γ (левую часть неравенства), на их среднее геометрическое, которое не больше их среднего арифметического, то неравенство останется верным:

∛ (cos α * cos β * cos γ) <= 1/2

Возводя неравенство в куб, получаем

cos α * cos β * cos γ <= 1/8,

что и требовалось доказать.

Равенство при этом достигается только в случае равностороннего треугольника.