докажите что не существует натуральных чисел a и b для которых a^2 = 2*b^2.

Пусть такие числа существуют.

Тогда a^2 - чётное число, т. к. делится на 2 (в частном получится b^2).

Тогда a - тоже чётное число. Если бы оно было нечётным, т. е. имело вид a = 2k + 1, то a^2 = 4k^2 +4k + 1 = 2*(2k^2 + 2k) + 1 также было бы нечётным, а согласно предыдущему оно чётное.
Поскольку a - чётное, то a = 2n, a^2 = 4n^2.

Значит 4n^2 = 2b^2, откуда b^2 = 2n^2, т. е. b^2 - чётное. Аналогично предыдущему, b - чётное.

Итак, a и b - чётные (делятся на 2), значит 2 - их общий делитель. Разделив их на 2, получим натуральные числа a1 и b1, т. е. a = 2a1, b = 2b1. Подставив их в исходное равенство, получим:
4a1^2 = 2*4b1^2, откуда a1^2 = 2b1^2.

Рассуждая аналогичным образом, получим, что a1 и b1 - чётные, т. е. 2 - их общий делитель, а значит, общим делителем a и b является 4.

Представив a1 и b1 в виде a1 = 2a2, b1 = 2b2 и подставив в исходное равенство, получим, что a2 = 2b2^2, и 2 - общий делитель для a2 и b2. Значит, общим делителем чисел a1 и b1 является 4, а чисел a и b - 8.

Продолжая эту цепочку сколько угодно раз, мы получим, что числа a и b имеют бесконечно большой общий делитель (для любого их общего делителя p можно найти такой их общий делитель, который будет больше p). Но такого не бывает. Хотя бы потому, что общий делитель двух чисел не может быть больше одного из этих чисел.

Поэтому предположение о существовании таких натуральных чисел a и b, что a^2 = 2b^2 неверно. Значит, их не существует.

гуглите "иррациональные числа. Пифагор".

мамой клянусь

читай про √2

Можно поиспользовать вот такую штуку в доказательстве:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_арифметики
Доказывали эту теорему?