Существует ли ещё хотя бы одно натуральное число, кроме 27, которое обладает следующим свойством:

вот код проги на VBA, которая показывает что автор дал единственное решение для 2-х значных чисел

' Сумма цифр суммы кубов цифр, сложенная с суммой цифр куба суммы цифр даст в результате исходное число
Function sumdigit(ByVal nn)
sumdigit = 0
priz = True
While priz
ost = nn Mod 10
nn = Int(nn / 10)
sumdigit = sumdigit + ost
If nn = 0 Then
priz = False
End If
Wend
End Function
Function sum3digit(ByVal nn)
sum3digit = 0
priz = True
While priz
ost = nn Mod 10
ost = ost * ost * ost
nn = Int(nn / 10)
sum3digit = sum3digit + ost
If nn = 0 Then
priz = False
End If
Wend
End Function

Sub ppp()
Cells.ClearContents
ii = 2
Cells(1, 1) = "число"
Cells(1, 2) = "Сумма цифр суммы кубов цифр"
Cells(1, 3) = "сумма цифр куба суммы цифр"
For i1 = 1 To 9
For i2 = 0 To 9
kk1 = i1 * 10 + i2
mm1 = sumdigit(sum3digit(kk1)) 'Сумма цифр суммы кубов цифр
mm2 = sumdigit(kk1) ' сумма цифр
mm2 = sumdigit(mm2 * mm2 * mm2) ' сумма цифр куба суммы цифр
If mm1 + mm2 = kk1 Then
Cells(ii, 1) = kk1
Cells(ii, 2) = mm1
Cells(ii, 3) = mm2
Cells(ii, 4) = mm2 + mm1
ii = ii + 1
End If
Next i2
Next i1
End Sub
Sub ppp2()
Cells.ClearContents
ii = 2
Cells(1, 1) = "число"
Cells(1, 2) = "Сумма цифр суммы кубов цифр"
Cells(1, 3) = "сумма цифр куба суммы цифр"
For i0 = 1 To 9
For i1 = 0 To 9
For i2 = 0 To 9
kk1 = i0 * 100 + i1 * 10 + i2
mm1 = sumdigit(sum3digit(kk1)) 'Сумма цифр суммы кубов цифр
mm2 = sumdigit(kk1) ' сумма цифр
mm2 = sumdigit(mm2 * mm2 * mm2) ' сумма цифр куба суммы цифр
If mm1 + mm2 = kk1 Or True Then
Cells(ii, 1) = kk1
Cells(ii, 2) = mm1
Cells(ii, 3) = mm2
Cells(ii, 4) = mm2 + mm1
ii = ii + 1
End If
Next i2
Next i1
Next i0
End Sub

Доказать это можно доказав, что с определенного момента суммы циферок начинают стабильно не дотягивать до нужного числа. А до этого момента можно тупо проверить все числа на компьютере.

Оценить максимальное значение суммы цифр и сумму цифр кубы суммы цифр. Окажется, что число может быть не более, чем двузначное.
Ну и дальше можно поупражняться.