Как можно доказать, что в ряду натуральных чисел имеются...

Шудегов Александр написал ерунду. То, что простых чисел бесконечное количество, доказал еще Евклид в Древней Греции. Доказательство очень простое.
Допустим, что простых чисел конечное множество. Возьмем последнее простое число N и найдем его факториал.
N! = 1*2*3*...*(N-2)*(N-1)*N
Это число, конечно же, делится на все числа от 1 до N, то есть на ВСЕ простые числа. Тогда число N! + 1 при делении на любое число от 1 до N, и даже от 1 до N! всегда дает остаток 1.
То есть оно не делится ни на одно простое число. По определению - оно должно быть простым.
Леонид тоже не прав. Пусть m = 2, k = 5, тогда 2*3*4*5*6 = 720. Да, это число делится на все числа от 2 до 6, среди которых есть простые числа 2, 3 и 5.

А доказательство исходного вопроса вот какое.
Возьмем любое число N и вычислим его факториал N!. Он делится на все числа от 1 до N.
А теперь рассмотрим числа N! +1 - делится на 1, N! + 2 - делится на 2, и т. д. до N! + N - делится на N.
Таким образом, мы получили ряд чисел, все из которых делятся на какое-то число, то есть не простые.
Например, ряд из 100 подряд составных чисел - это 100!+1, 100!+2,...100!+100.

Возьмём число, равное m*(m+1)*....*(m+k) - его не штука представить в виде частного от двух факториалов. Совершенно очевидно, что оно делится на ВСЕ числа от m до m+k включительно, то есть на этом интервале простых числе не содержится.
Что, собсно, и требовалось доказать...

Леонид, перечитайте свое "доказательство". Это ж фантастика какая-то :)

Александр, простых чисел таки БЕСКОНЕЧНО много (это доказал еще Евклид)

А задачу можно решить так: искомый интервал тянется от n! до (n+1)!. Действительно, когда k меньше n, n! + k очевидно является составным (т. к n! содержит и множитель k)

Простых чисел небесконечное количество - оно ограниченно, а т. к. множество натуральных чисел бесконечно эти промежутки появяться