Доказать, что 5^n+4n+7 делится на 8 (n - натуральное число)

Вот здесь всё доказано, разбирайтесь.

Для n= 1 это верно. Пусть верно для n;
Проверим для n+1 ( полная мат. индукция) ;
Имеем: 5^n + 4*n+7 = 8*s;
5^n = 8*s - 4*n - 7;
заменим n=>n+1
5*5^n + 4*n +4+7 = 5*(8*s - 4*n – 7) + 4*n +11 = 5*8*s - 20*n – 35 + 4*n +11= 5*8*s -16*n -24 = 8*S1 т. к все члены делятся на 8. чтд

С помощью сравнений.
5≡-3(mod 8); отсюда 5^n≡(-3)^n(mod 8). Из последнего сравнения имеем:
1) для чётных n: 5^n≡1(mod 8); 2) для нечётных n: 5^n≡-3(mod 8)
4n≡0(mod 8) для чётных n, и 4n≡4(mod 8) для нечётных.
7≡-1(mod 8)
Сложим сравнения для чётных: 5^n+4n+7≡(1+0-1)(mod 8);
5^n+4n+7≡0(mod 8) - для чётных доказано.
Для нечётных: 5^n+4n+7≡(-3+4-1)(mod 8); 5^n+4n+7≡0(mod 8) - для нечётных тоже доказано.

Докажем, что (5^n+7) - делится на 4 без остатка. Напомним, что число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры нули или составляют число которое делится на 4. Число (5^n) - всегда будет заканчиватся на 25 для n>1 (случай для n=1: 5^n+4*n+7=5^1+4*1+7=5+4+7=16=2*8 - делится на 8).
А число (5^n+7) - всегда будет заканчиватся на 25+7 = 32 = 4*8. Поэтому (5^n+7) - делится на 4 без остатка. Само собой понятно, что и число (4*n) - делится на 4 без остатка, ну и логично что сумма двох чисел (5^n+7) и (4*n), которые делятся на 4 будет делится на восемь без остатка. Вот и всё. Удачи!!!