n!= 1*2*3*…*n – произведение всех натуральных чисел от 1 до n, называется «n факториал». Какое наименьшее

На 11 нулей - может (55!..59!), а вот на 20 нулей - нет.
Каждая 5-ка даёт 0, каждая сотня и каждая тысяча дополнительно. Вот, раздели 2009 на 5, 100, и 1000, сложи целые части и получишь количество нулей на конце факториала.

1. По поводу наименьшего n - не понял вопрос.
2. n! может оканчиваться на любое наперед заданное число нулей - из определения факториала 0 ДУМАЙ.
3. в 10! оканчивается на два 0. 20! - на четыре 0. Закономерность не уловила? Подумай, только не вздумай простым пересчетом))))))))))))))

Факториалом натурального числа n называется число n! = 1 · 2 · . .· n. Какой
из ста множителей нужно зачеркнуть в произведении 1! · 2! · 3! · . .· 99! · 100! так,
чтобы произведение оставшихся оказалось квадратом целого числа?

1)n!=990*х=2*3*3*5*11*х=11! (все, что меньше, не делится на 11)
2)да к примеру 100000000000! (это не наименьшее)
3)2009!
Ноль образуется с помощью множителей оканчивающихся на 10, 100, … и с помощью умножения нечетных (неделящихся на 2) чисел вида x*5^k на числа х*2^k, если х не делиться на 5, получаем k нулей. (х*2^k не будет оканчиваться на 0 и делиться на 5 и всегда будет существовать, т. к. меньше x*5^k)
Пересчитаем все такие числа:
1.делится на 10 не делится на 100: таких 9 в сотне, всего таких чисел, целое число от 2009/100 умноженное на 9, что равно 20*9=180. Итого нулей 180.
2.делиться на 100 не делится на 1000: таких 9 в тысяче, всего таких чисел, целое число от 2009/1000 умноженное на 9, что равно 2*9=18 Итого нулей 18*2=36.
3.делиться на 1000: всего таких чисел 2 Итого нулей 2*3=6.
4.делится на 5 не делится на 25 (x*5): таких 4 в 25-ке, всего таких чисел, целое число от 2009/25 умноженное на 4 плюс 1 от 2005, что равно 4*80+1=321. Итого нулей 321.
5.делится на 25 не делится на 125 (x*5^2): таких 4 в 125-ке, всего таких чисел, целое число от 2009/125 умноженное на 4, что равно 4*16=64. Итого нулей 64*2=128.
6.делится на 125 не делится на 625 (x*5^3): таких 4 в 625-ке, всего таких чисел, целое число от 2009/625 умноженное на 4 плюс 1 от 2000, что равно 4*3+1=13. Итого нулей 13*3=39.
7.делится на 625 (x*5^4): таких 3 Итого нулей 3*4=12
Всего нулей: 180+36+6+321+128+39+12=722