Интуитивно как понять математический факт, что сумма всех натуральных чисел равна -1/12?

Зайду с иной суммы:
Сколько будет 1+1+2+4+8+16+...
Для этого достаточно понять, что данный ряд можно бесконечно делить на 2, потому что:
(1+1+2+4+8+...)/2 = (2+2+4+8...)/2 = 1+1+2+4+8+...
А единственное число, которое делится на любую степень двойки - это 0!
И если 1+1+2+4+8+...=0, то 1+2+4+8+...=-1.
Можно это трактовать как тривиальное решение равенства
S/2 = S. S=0 решение, просто не устраивающее нас в силу особенностей задачи, где S полагается бесконечно большим.

Есть ещё метод: запишем сумму в двоичной системе счисления:
1+1+10+100+...= 1 + ***111.
Справа слагаемое, у которого слева все единицы (сумма абсолютно всех степеней двоек). Если прибавить ещё один, то будут все нули (а 1 в уме, если столбиком считать). Итого:
1 + ***111 = 0
Контринтуитивно, но никаких особых парадоксов на самом деле не создаёт. Поэтому сумма всех степеней двоек - это -1. Аналогично с натуральным рядом, его суммирование даёт некоторое число, которое может обладать некоторыми свойствами данной бесконечной суммы.

Это позволяет снимать различные ограничения при вычислениях, например, в задачах о квантовых осцилляторах, где в ходе решения встречаются бесконечные натуральные ряды. Физики скромно называют это дзета-регуляризацией, но на выходе вычислений как раз множитель (1/12) остается. Например, кратный (1/12) множитель есть и в формуле для отрицательной плотности вакуума в эффекте Казимира, который вполне имеет место быть. В реальности, конечно, это просто способ избежать некоторых трудностей интерпретации вычислений, как если бы у нас в расчёте появилось (√(-1))², но мы бы договорились считать это (-1), хоть это и грубо. А вот ряд всех степеней двойки позволяет расширить применимость формулы суммы гармонического ряда: 1+q+q^2+q^3+...= 1/(1-q) для q>1

Это просто фокус, махинации. Таких фокусов можно придумать сколько угодно, и получить РАЗНЫЕ результаты. А на деле эта сумма не может быть выражена численно, она бесконечна.

никак, это бред, а не математический факт - во всяком случае в такой формулировке
в функциях, описанных в статье, используются нетрадиционные методы суммирования рядов (типа того же Чезаро), не имеющие ничего общего с нормальным человеческим определением сходимости ряда через сходимость последовательности частных сумм

Обобщенные методы суммирования на расходящихся рядах могут давать неожиданные результаты - неплохо бы просто принять это к сведению.

никак, просто смириться

Так оно не равно -1/12